Si $\small {x+\sqrt { (x+1)(x+2) } +\sqrt { (x+2)(x+3) } +\sqrt { (x+3)(x+1) } = 4}$, resolver $x$por ciento.

Question

Me encontré con este problema de algebra Olimpiada, pidiendo resolver $x$:

$x\ +\ \sqrt { (x+1)(x+2) } \ +\ \sqrt { (x+2)(x+3) } +\ \sqrt { (x+3)(x+1) } =\ 4$

Aquí fue mi intento:

Si $$x\ +\ \sqrt { (x+1)(x+2) } \ +\ \sqrt { (x+2)(x+3) } +\ \sqrt { (x+3)(x+1) } =\ 4$ $

Entonces $\quad \sqrt { (x+1)(x+2) } +\sqrt { (x+2)(x+3) } +\sqrt { (x+3)(x+1) } =4-x$.

Además, he intentado cuadrar la ecuación en ambos lados, pero que no parece resolver mi problema. Por favor ayuda.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: observar que $:x = (x+1) + (x+2) - (x+3)$. Esto nos lleva a dejar $a = \sqrt{x+1}, b = \sqrt{x+2}, c = \sqrt{x+3} \Rightarrow a^2+b^2-c^2 + ab+bc+ca = 4, b^2-a^2 = 1 = c^2-b^2 \Rightarrow a^2-1 +ab+bc+ca= 4 \Rightarrow (a+b)(a+c) = 5 \Rightarrow \dfrac{a+c}{b-a} = 5 \Rightarrow a+c = 5b-5a\Rightarrow 6a = 5b-c\Rightarrow 6\sqrt{x+1} = 5\sqrt{x+2} - \sqrt{x+3}$. ¿Puede usted continuar?

Answer 2

Mientras Kf-Sansoo ha dado una elegante respuesta, si el problema pide cualquier real (y no sólo racional) de la solución, entonces se echa de menos una segunda que es una raíz de una ecuación de cuarto grado, de ahí que normalmente no es fácil de hacer a mano.

En general, las dos soluciones,a

$$x+\sqrt{(x+1)(x+2)}+\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+3)(x+1)} = n\tag1$$

real $n>0$,

$$x = \frac{(n^2+4n+5)^2}{4(n+1)(n+2)(n+3)}-2\tag{2a}$$

y la raíz adecuado de,

$$-23 + 48 n - 22 n^2 + n^4 - 4 (30 - 33 n + 6 n^2 + n^3) x \\+ 16 (-11 + 6 n) x^2 + 16 (-6 + n) x^3 - 16 x^4=0\etiqueta{2b}$$

Para$n = 4$,$x_1 = -311/840 \approx -0.37$. A continuación, $x_2 \approx -5.12357$ como una raíz de,

$$73 - 232 x + 208 x^2 - 32 x^3 - 16 x^4 = 0$$

con tanto válida para el caso positivo de $\sqrt{z}$ como el gráfico de Walpha a continuación se muestra,

---

$\color{green}{Edit:}$ Cuando se utiliza Kf-Sansoo del método, nos encontramos con una expresión de la forma,

$$\prod^4 (c_1\sqrt{x+1}\pm c_2\sqrt{x+2}\pm c_3\sqrt{x+3}) = 0$$

Deje $n=4$ y obtenemos $x = -311/840$. Más simple, pero el precio a pagar es que perder un segundo de la solución. Otro método es la de formar una octic,

$$\prod^8 \big(y-(\pm\sqrt{z_1}\pm \sqrt{z_2}\pm \sqrt{z_3})\big)=0 \tag3$$

Después de que se forma, sustituye en $(3)$ el ff,

$$y = n-x\\z_1=(x+1)(x+2)\\z_2=(x+2)(x+3)\\z_3=(x+3)(x+1)$$

y llegamos lineal/cuarto grado los factores dados por $(2a), (2b)$. Menos simple, pero el resultado es una segunda solución válida.