¿Intuición de grupos homológicos no libres?

Question

Según Intuición del significado de los grupos de homología y Wikipedia, se puede pensar en los grupos de homología como el número de agujeros en una dimensión determinada. Por ejemplo, una cuña de dos círculos tiene $H_1 = \mathbb{Z}^2$ porque hay dos agujeros encerrados en el espacio, y $S^2$ tiene $H_2 = \mathbb{Z}$ porque encierra un volumen, y tiene $H_1=0$ porque cualquier bucle es homotópico a un punto.

Entonces, ¿cómo puedo tener una mejor comprensión de los espacios como el espacio proyectivo real $\mathbb{R}P^n$ o la botella de Klein, cuyos grupos de homología no son libres? Tengo entendido que la botella de Klein tiene $H_2 = 0$ porque no encierra ningún volumen, y $H_1 \geq \mathbb{Z}$ porque los bucles a su alrededor no son homotópicos a un punto, pero ¿cómo tiene sentido intuitivo que $H_1 = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ?

Answer 1

Creo que la gente debería ignorar todas estas tonterías sobre el recuento de agujeros y limitarse a ver lo que realmente ocurre en más ejemplos.

En particular, tu intuición de que la homología de la cima tiene algo que ver con los volúmenes que la encierran no es del todo correcta. Yo interpreto que tienes en mente un colector que es el frontera de otra variedad (del mismo modo que la esfera $S^n$ es el límite del disco $D^{n+1}$ ), y no es cierto que una variedad tenga que ser un límite para tener una homología superior no evanescente. El contraejemplo cerrado más sencillo es $4$ -dentales: el plano proyectivo complejo $\mathbb{CP}^2$ es un $4$ -manifiesto con $H_4 = \mathbb{Z}$ pero se sabe que no es el límite de un $5$ -manifiesto.

El hecho de que la homología superior desaparezca o no tiene que ver con orientabilidad .

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Es posible visualizar directamente el caso de $\mathbb{RP}^2$ Así que hagámoslo. En este caso $\pi_1 \cong H_1 \cong \mathbb{Z}_2$ Así que el objetivo es visualizar por qué hay algún bucle que no es trivial pero tal que dos veces ese bucle es trivial. Visualizar $\mathbb{RP}^2$ como un disco $D^2$ pero donde se han identificado puntos antípodas en la frontera. Consideraremos bucles que empiezan y terminan en el origen.

Afirmo que un representante de un generador de $\pi_1 \cong H_1$ viene dada por el bucle que empieza en el origen, sube hasta el límite, se identifica con el punto opuesto y vuelve a subir hasta el origen. Intenta dar un empujón a este bucle para que creas que no es nulo-homotópico: la cuestión es que no puedes alejarlo de la frontera porque los dos puntos (antípodas, por tanto identificados) en los que se cruza con la frontera nunca pueden aniquilarse.

Ahora queremos visualizar por qué dos veces este bucle es nulo-homotópico. Será conveniente empujar la espira para que toque la frontera en cuatro puntos, que vienen en dos pares antipodales $A, A', B, B'$ para que el bucle los golpee en ese orden antes de volver al origen. Llegados a este punto, sería útil dibujar un diagrama si aún no lo has hecho; el disco, y los dos bucles en él, deberían parecerse un poco a una pelota de tenis de perfil. Ahora, empuja el bucle para que $A, B'$ se acercan, y por lo tanto, ya que están obligados a ser antípodas, $A', B$ también se acercan. Al final los habrás empujado lo suficiente como para ver que finalmente puedes alejar la curva del límite: mientras lo haces, $A', B$ se aniquilan entre sí, y luego $A, B'$ aniquilar a los demás.

Una visualización similar funciona para la botella de Klein, visualizada como un cuadrado con sus lados identificados adecuadamente.

Answer 2

No estoy seguro de cómo describir esto con precisión, pero yo mismo tuve esta pregunta y esta es una respuesta cualitativa que me pareció intuitiva:

En estos espacios se puede colocar un bucle que no es trivial, pero si se traza el bucle dos veces, el resultado puede deformarse continuamente dentro del espacio para convertirse en trivial. Es decir, el bucle es su propio inverso.

En el $\mathbb{RP}^2$ caso, considere $\mathbb{RP}^2$ como el espacio cociente del cuadrado de la manera estándar, trazar una línea desde una esquina hasta la esquina opuesta. Puedes convencerte de que se trata de un bucle no trivial, pero al girar continuamente la línea sobre $180^\circ$ En este caso, los extremos opuestos siempre se identifican bajo el mapa de cociente, por lo que estamos moviendo continuamente el bucle, pero invertimos la orientación, por lo que el bucle es su propia inversa.

Podemos hacer algo parecido con la botella Klein. Consideremos la botella de Klein como el cilindro, con los círculos superior e inferior identificados con orientación opuesta. El bucle alrededor del círculo superior es entonces el mismo que el bucle alrededor del círculo inferior con orientación opuesta. Al mapearlo continuamente hacia sí mismo moviéndolo hacia abajo en el cilindro, se demuestra que en cierto sentido es su propio inverso.