En "el Modal lógica de forzar", Joel David Hamkins y Benedikt Löwe muestran que los principios obligan a ZFC-demostrable son exactamente los de la lógica modal S4.2 (interpretación $\Diamond \phi$ como afirmando que $\phi$ es forzosa).
¿Hacer el $\mathsf{ZF}$-principios demostrables de obligar a obedecen a una lógica modal diferente?
La definición de forzar a que es el mismo con y sin el axioma de elección. Y la verdad lema sostiene con y sin el axioma de elección. Es decir,
$$p\Vdash_\Bbb P\varphi\iff\text{For every }V\text{-generic } G\subseteq\Bbb P\text{ with }p\in G: V[G]\models\varphi$$
También puede considerar la posibilidad de iteraciones sin elección, al menos con una de dos pasos de iteración esto tiene absolutamente ningún dificultades (en comparación con todo tipo de no-finito apoya y así sucesivamente). Así la prueba de que $\sf S4.2$ es un subconjunto de la lógica modal de forzar en $\sf ZF$ es inmediata.
En la otra dirección, claramente $\sf ZF$ no puede probar más de $\sf ZFC$. Así que usted consigue $\sf S4.2$ inmediatamente como un resultado.
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