$m ¡ n! ¿< (m + n)! $ prueba?

Question

Demostrar eso si $m$ y $n$ son números enteros positivos entonces $m ¡ n! < (m + n)! $

Consejo dado:

$m! = 1\times 2\times 3\times\cdots\times m$ y $1 < m + 1, 2 < m + 2, \ldots, n < m + n$

Parece simple pero estoy desconcertado y no puede alcanzar la prueba correcta. Gracias.

Answer 1

Observe eso $m! n! $ y $(m + n)! $ ambos tienen el mismo número de términos. Vamos a compararlos: $$ m ¡ n! = (1 \times 2 m \times \ldots \times) \times (1 \times 2 \times \ldots \times n) $$ $$ (m + n). = (1 \times 2 \times \ldots \times m) \times ((m+1) \times (m + 2) \times \ldots \times (m + n)) $$

Ambas expresiones tienen el mismo primer $m$ términos, pero después de que cada término en la segunda expresión es mayor que el correspondiente término en la primera: $m + 1 > 1$, etc.

Answer 2

Tenga en cuenta $\frac{(m+n)!} {m}! = ($m+1)(m+2)\ldots(m+n). Por lo que necesitará probar $n! < (m+1)(m+2)\ldots(m+n)$ y su sugerencia se aplica.

Prueba alternativa: Si tienes $ $n y $m$ niñas, usted puede alinearlos en $m! n! maneras $ tal que todas las niñas vienen antes de todos los muchachos y en $(m + n)! maneras $ sin restricción.

Answer 3

Una línea de prueba (algunos detalles omitidos): ${m + m n \choose} > 1$ Si $0 < m < n$.

Answer 4

Si a usted le gusta, aquí hay otra prueba:

Supongo que $n,m\in\mathbb{N}_0$. A partir de la sugerencia de que $$ 1<m+1, 2<m+2, \ldots, n<m+n $$ se puede ver que $n!<(m+n)!$.

Ahora tenemos la prueba por inducción que $m!n!<(m+n)!$. Tomar $m=1$, entonces tenemos $1!n!<(1+n)!$. Ahora suponga que $m!n!<(m+n)!$ es correcto, esta es la hipótesis de inducción. Calculamos \begin{align*} (m+1)!n!&=(m+1)m!n!\\&<(m+1)(m+n)!\\&<(m+n+1)(m+n)!\\&=(m+n+1)!. \end{align*} La primera desigualdad es debido a la inducción de la hipótesis. El segundo, porque $n\geq1$.

Answer 5

Algunas respuestas bastante complicados aquí para mostrar que hay más de una cadena que podemos formar con las letras $A$ y $B$ de longitud $m + $n, con repeticiones de $m$ $A $ y $n$ repeticiones de $B. $