Prueba no circular de $\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1$

Question

$$\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1$$ El límite anterior es fundamental para los estudios de cálculo introductorio. Sé que este límite se puede demostrar mediante la teorema de la compresión y el longitud del sector es decir $$s = r\theta$$ donde r es el radio y $\theta$ el ángulo. Sin embargo, se afirma que la prueba de este límite es circular.

No me atrevo a estar de acuerdo con eso, pero aparentemente el longitud del sector es un corolario de el límite que se demuestra por la desigualdad $$\cos \theta < \frac{\sin\theta}{\theta} < 1$$ ¿Puede alguien indicarme otras pruebas del límite?

Answer 1

Normalmente, la justificación geométrica más fácil de entender es a través del área del sector del disco unitario asociado a $θ$ . Lo que debe quedar claro por la definición geométrica del ángulo es que esta área es proporcional a $θ$ , $A(θ)=Cθ$ .

Utilizando triángulos dentro del sector se obtiene un límite inferior de $\frac12\cosθ\sinθ=\frac14\sin2θ$ o $\sin\fracθ2\cos\fracθ2=\frac12\sinθ$ . Utilizando triángulos fuera del disco unitario, se obtienen límites superiores de $\frac12\tan θ$ o $\tan \fracθ2=\frac{\sinθ}{1+\cosθ}$ . Así, cualquiera que sea la medida del ángulo, se obtiene $$ \frac12\sinθ\le Cθ\le \frac{\sinθ}{1+\cosθ}\iff C·(1+\cosθ)\le\frac{\sinθ}{θ}\le 2C $$ lo que resulta en $\lim_{θ\to0}\frac{\sinθ}{θ}=2C$ .

Qué valor asignar a $C$ y estrechamente relacionado qué medida asignar al ángulo del círculo completo tiene ahora razones enteramente analíticas para evitar que ciertas series estén abarrotadas de constantes arbitrarias. Sin eso es completamente razonable asignar $θ=360°$ al círculo completo y tener $C=\frac\pi{360°}$ .

Answer 2

$$\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}.$$

Por lo tanto,

$$ \frac{\sin t}{t}= \frac{1+it+\epsilon_1(t)-1+it+\epsilon_2(t)}{2it}=\frac{2it+\epsilon(t)}{2it}=1+\frac{\epsilon(t)}{2it}, $$

donde $\epsilon(t)/2it \rightarrow 0$ como $t \rightarrow 0$ .

No hay circularidad: No "utilizamos los derivados de $\sin$ para llegar a la serie Taylor". Es la definición (una de las posibles, pero esta es una buena para trabajar). La motivación de la definición es una cuestión totalmente distinta .

Por ejemplo, se puede demostrar que existe como máximo un par de funciones $s,c$ tal que $s'=c$ , $c'=-s$ , $s^2+c^2\equiv 1$ y $s(0)=0$ . Estas propiedades son fáciles de "demostrar" para el caso en que $\sin$ está definida "geométricamente" (la definición de esto es por dibujo... así que lo mejor que puedes conseguir son argumentos por dibujo también. No es circular, sólo está mal fundamentado) y es fácil de demostrar a partir de la definición anterior. Por lo tanto, se corresponden.

Answer 3

Es erróneo utilizar "el" en la frase "... porque la prueba de este límite es circular..."; normalmente una afirmación admite más de una prueba. Además, si una prueba afirmada es circular, eso significa simplemente que es falsa; porque la persona que escribió la prueba simplemente no estaba jugando el "juego".

Si se lee el cálculo de Apostol, se puede encontrar allí una prueba de la afirmación. Utiliza cuatro afirmaciones que estipulan el comportamiento de $\cos$ y $\sin$ como axiomas, uno de los cuales es $$ 0 < \cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < \frac{1}{\cos \theta}, $$ válido para todos $\theta \in ]0,\pi/2[$ ; entonces se concluye fácilmente (revise el libro para esta afirmación y los detalles pertinentes) que $$ \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1. $$

Otra forma que me vino a la mente ahora es: Se puede demostrar que para todos $n \geq 0$ tenemos $$ \sin \theta = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(\theta^{2n+1}) $$ como $\theta \to 0$ ; en particular, tenemos $$ \sin \theta = \theta + o(\theta) $$ como $\theta \to 0$ ; por lo que $$ \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 + o(1) \to 1 $$ como $\theta \to 0$ .

Te he mostrado una prueba circular.

Answer 4

Por supuesto, el problema es la definición del seno. Una posible respuesta es esta.

Supongamos que está corriendo en el círculo de la unidad a la velocidad constante uno, a partir de $(1,0)$ . Dejemos que $(x(t), y(t))$ su posición al instante $t$ . Entonces $x(t)x'(t)+y(t) y'(t)=0$ (diferenciar $x^2+y^2=1$ ), con $x'^2(t)+y'^2(t)=1$ (velocidad 1). De ello se desprende que $x'(0)= 0$ , $y'(0)=\pm 1$ . El signo $1$ significa que se inicia en sentido inverso a un reloj. Así, el límite $\lim _{t\to 0} {y(t)\over t}= 1$ . De hecho $y(t$ ) no es una definición estúpida para $\sin t$ .

La prueba es circular, quizás no en el sentido que usted quiere decir.

Answer 5

Se trata de un problema bastante difícil de abordar con total rigor. Es posible (con mucha más teoría detrás) definir una función $f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ y demostrar que $f(x)$ existe para todos los reales $x$ porque la serie converge en todas partes. Después del hecho, sabemos que $f(x) = \sin{x}$ pero si usamos esto como la definición de una función llamada $\sin$ ¿Cómo lo relacionamos con las funciones trigonométricas y cómo vemos (directamente) que es periódico?