¿Existe una manera de recordar rápidamente y a fondo los teoremas?
Por ejemplo, las pruebas del teorema del valor medio, o el teorema de Rolle. Tener que recordarlos todos de memoria ha sido bastante tedioso. Entenderlo te ayuda a captar lo esencial, pero siempre hay alguna parte integral del teorema que se queda fuera.
Resiste el impulso de buscarlos. Si te preocupa estar olvidando algún teorema, siéntate y trata de volver a deducirlo de algo que sí sepas demostrar (tal vez mvt de Rolles, que tal vez recuerdes).
Si te quedas atascado durante un tiempo, busca un primer paso y luego sigue tú mismo. "Volver a leer activamente los teoremas me ayuda a asegurarme de que los entiendo. Es fácil leer algo en wikipedia y decir "oh, vale, tiene sentido" sin entenderlo realmente.
Descreer del teorema es una buena manera de empezar, creo. Cada vez que se haga una afirmación, intenta romperla. Pregunte "¿qué pasaría si $x=-1$ ?", o cualquier otra cosa que pueda hacer que se rompa una ecuación o una inferencia.
Al fin y al cabo, el objetivo de una prueba es que la cosa no era obvia al principio, y por eso había que probarla. Así que pon la prueba a la prueba.
Una vez que hayas tenido una buena pelea con la cosa, es más probable que recuerdes cómo se defendió de ti. Por ejemplo, en lugar de tratar de memorizar una condición inicial, te dices a ti mismo, cuando uno de tus arteros ataques falla, "Ah, que es por lo que insistió, al principio, en que $a$ tuvo que ser desigual a $b$ ".
De la misma manera, creer que un determinado paso es ilógico, y luego comprender que, después de todo, es lógico, es más probable que se grabe en el cerebro de lo que lo haría tratar de recordar las palabras.
La otra técnica es el estiramiento. Por ejemplo, si un teorema se refiere a los enteros, ¿funcionará para los racionales? O para los enteros gaussianos ( $a+bi$ )? Estire y vea. En ocasiones, una generalización existe realmente y se ha omitido por razones pædagógicas; más a menudo, la generalización fracasará y le enseñará mucho al fracasar.
El truco para memorizar/recordar las pruebas de los teoremas es entenderlos . Si entiendes de qué trata un teorema y recuerdas la estrategia para demostrarlo, no suele ser difícil completar los detalles sobre la marcha. Algunos teoremas requieren algunos "trucos" que puede ser útil recordar.
Creo que lo peor que puedes hacer es memorizar sin pensar las palabras y los símbolos de la prueba.
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¿Quizás entenderlos primero? :)
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Para los ejemplos que mencionas, ten una visión clara e intuitiva de la geometría.
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Lo que dice @Salem es realmente la respuesta. Si puedes entender lo que realmente hace la prueba (cuáles son los principales pasos de la prueba) entonces puedes completar los detalles por tu cuenta para relacionarlos.
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Si no recuerdo mal, Grothendieck y muchos otros matemáticos creían que cualquier demostración debía ser obvia y directa; si parece no trivial, es que no se entiende lo que se está demostrando. Por desgracia, esto no siempre funciona.