integral de la función cantor

Question

consideremos el conjunto cantor ternario C, y la función cantora ascoiada f, y la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada u.

¿cuál es la integral de f sobre todo R con respecto a u?

mi intento:

Sé que bajo la medida de Lebesgue, la integral de la función de Cantor es 1/2 utilizando un argumento de simetría.

pero bajo esta medida, u, ¿la integral sigue siendo la misma?

Estaba pensando en dividir la integral en 3 partes: (-infty, 0), (0, 1), y (1, infty).

como la función de cantor es constante en (-infty, 0) y (1, infty), se deduce que la integral es 0 en esos intervalos...

ahora estoy un poco atascado aquí porque no estoy seguro de cómo manejar (0, 1) ... ayuda sería apreciada

Answer 1

Deberías conseguir que la respuesta sea $1/2$ , inmediatamente a partir de la integración por partes. Véase este en particular las secciones "Integración por partes" y "Conceptos relacionados". Además, véase este para una demostración de la fórmula de integración por partes.

EDITAR: Explícitamente, ya que $f$ es continua y no decreciente, y es constante en $\mathbb{R}-[0,1]$ , $\int_{\mathbb R} {f(x)du(x)} = \int_0^1 {f(x)df(x)} $ y se mantiene $$ \int_0^1 {f(x)df(x)} = f(1)f(1) - f(0)f(0) - \int_0^1 {f(x)df(x)} $$ (integración por partes). Dado que $f(0)=0$ y $f(1)=1$ por lo que se deduce que $\int_{\mathbb R} {f(x)du(x)} = 1/2$ .

EDITAR : De forma más general, si $F$ es cualquier función de distribución continua (la función de Cantor $f$ es un ejemplo particular), entonces $\int_{\mathbb R} {F(x)dF(x)} = 1/2$ . Al igual que antes, esto se puede demostrar utilizando la integración por partes, que se permite ya que $F$ es continua y no decreciente. (Bajo ciertas condiciones, esto también se deduce de un cambio de variable.) En efecto, para cualquier $a < b$ , $$ \int_a^b {F(x)dF(x)} = F(b)F(b) - F(a)F(a) - \int_a^b {F(x)dF(x)}. $$ Por lo tanto, el resultado se deduce dejando que $a \to -\infty$ y $b \to \infty$ .

Otra forma de obtener el resultado general es la siguiente. Sea $X$ sea una variable aleatoria arbitraria con función de distribución continua $F$ . Entonces, $\int_{\mathbb R} {F(x)dF(x)}$ expresa la expectativa de la variable aleatoria $F(X)$ . Como es sabido, en este caso $F(X) \sim {\rm uniform}(0,1)$ . Por lo tanto, $\int_{\mathbb R} {F(x)dF(x)} = 1/2$ .

Observación. Con $f$ como en el caso anterior, la integración por partes da $$ \int_0^1 {xdf(x)} = xf(x)\big|_0^1 - \int_0^1 {f(x)dx} = 1 - 1/2 = 1/2. $$ El lado izquierdo, $\int_0^1 {xdf(x)}$ expresa la expectativa de la distribución de Cantor.

Answer 2

Observemos primero la siguiente fórmula restringida de tipo cambio de variables para las integrales de Stieltjes: $$\int_{f(I)} g(x)\,dx = \int_I g(f(y))\,df(y)$$ para cada Borel $I\subseteq\mathbb{R}$ y todo continuo no decreciente $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ :
comparar las correspondientes sumas de Darboux y ver también esta pregunta .

En particular para $f:[0;1]\rightarrow[0;1]$ la función de Cantor y $g(x):=x$ , $1/2=\int_0^1 x\,dx = \int_0^1 f(y)\,df(y)$ .