¿Existe alguna limitación a la ley de Gauss?

Question

Recientemente tuve una pregunta para encontrar el campo eléctrico a una distancia $R$ desde el origen, donde el espacio está lleno de carga de densidad $\rho$ . Lo hice suponiendo una superficie gaussiana de radio $R$ . Ahora fuera no afectará el campo así que calculé el campo como:

$$\left|\,\vec E\,\right| = \frac{\rho R}{3\varepsilon} \tag{1}$$

Estaba satisfecho con mi solución, hasta que se me ocurrió una idea: como el espacio es infinito, para una carga infinitesimal que produce un campo $\vec {E_1}$ habrá otro cargo que produzca $-\vec {E_1}$ por lo que el campo resultante debe ser cero. Lo que me lleva a mi primera pregunta, ¿es la ley de Gauss siempre válida, o tiene alguna limitación?

Answer 1

La ley de Gauss siempre está bien. Es uno de los principios del electromagnetismo, como una de las ecuaciones de Maxwell, y por lo que podemos decir siempre están de acuerdo con el experimento.

El problema que has descubierto es simplemente que "una densidad de carga uniforme de extensión infinita" no es realmente posible físicamente, y resulta que (i) no es posible expresarla como el límite de una secuencia de situaciones físicas sensatas, y (ii) no es posible proporcionar una formalización matemática adecuada para ello. Es un poco lamentable, porque se puede hacer esto perfectamente con cargas lineales y superficiales infinitas, pero las cargas masivas no funcionan así.

Esto puede parecer un poco extraño (y, en realidad, debería), así que veamos de nuevo a qué se refiere cuando dice que "el espacio está lleno" de carga de densidad $\rho$ . ¿Podría aplicar esto en la vida real? Por supuesto que no. Sólo se puede llenar un volumen finito $V$ . Su esperanza entonces es que como $V$ se hace cada vez más grande, el campo en su interior se estabiliza hasta una especie de límite.

El problema es que para que este procedimiento tenga sentido, es necesario que el procedimiento de limitación sea independiente de la forma detallada de $V$ a medida que se aumenta la escala, pues seguramente si se está en el centro de la losa y el campo ha convergido en su mayor parte, la respuesta no puede depender de los detalles de un límite que está muy lejos.

Para una línea y una carga superficial, esto funciona perfectamente. Puedes calcular el campo para una carga de línea finita, y el límite no depende de qué extremo va más rápido al infinito siempre que lo hagan ambos. También puedes demostrar que el campo de parches crecientes de carga superficial no depende demasiado de la forma de los parches si son lo suficientemente grandes. Sin embargo, para cargas masivas, acabas de demostrar que no funciona: si desplazas $V$ , se obtiene una respuesta diferente. Por lo tanto, el problema para una propagación infinita de la carga a granel no tiene sentido, y no es el límite de los sistemas físicos sensibles que son "suficientemente grandes".

Otra forma de demostrar que la propiedad "suficientemente grande" no tiene sentido es que no hay nada con lo que comparar el tamaño de la carga. Para las cargas lineales y superficiales, esto está perfectamente bien, y de hecho todo lo que son es modelos para una carga lineal / superficial finita de longitud / radio $L$ cuyo campo se comprueba en un punto a una distancia $d$ de la carga. La distribución es "infinita" si $L/d\gg 1$ o, en otras palabras, los modelos son buenos si el punto está mucho más cerca de la fuente que el tamaño de la misma. Para una carga masiva, no hay una distancia significativa $d$ y, por lo tanto, ningún parámetro adimensional significativo sobre el que tomar un límite, y esto, a su vez, es lo que impulsa el sinsentido de la situación.

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Por último, permítanme plantear esto de forma un poco más matemática, de manera que tenga una respuesta. Otra forma de plantear el problema "el espacio está lleno de una carga masiva uniforme de densidad $\rho_0$ " es como la ecuación diferencial simple $$\nabla\cdot \mathbf E=\rho_0/\epsilon_0.$$ Esta es una pregunta perfectamente razonable, salvo que te faltan las condiciones de contorno, por lo que la solución no será (ni de lejos) única. Sin embargo, las condiciones de contorno no tienen sentido si tu dominio es todo el espacio, así que necesitas algo más, y lo que resulta hacer el trabajo es exigir respuestas que compartan las propiedades de simetría de la carga - tanto las simetrías de traslación como todas las simetrías puntuales.

Para las cargas lineales y superficiales, esto funciona casi perfectamente. Las demandas de simetría y ecuación diferencial acopladas tienen, afortunadamente, soluciones únicas: las simetrías de traslación y la ecuación diferencial descartan todo excepto los campos uniformes, que son descartados por las simetrías puntuales.

Para una carga masiva, en cambio, se obtiene una dependencia lineal fundamental y un campo uniforme, que no puede ser descartado por la simetría traslacional: $$\mathbf E=\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\mathbf r + \mathbf E_0=\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}(\mathbf r-\mathbf r_0).$$ Esta forma es una especie de invariante de la traslación, excepto que ahora hay que volver a elegir $\mathbf r_0$ cada vez que se traduce, lo que no puede ser del todo correcto. Y si intentas imponer alguna simetría puntual, tendrás que poner $\mathbf r_0$ en cada punto con una simetría de inversión - y ahí se pierde, porque no se puede hacer.

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Para reformular esto último en sus términos, la simetría de inversión requiere que el campo sea cero en cada punto, pero esto no es consistente con la ecuación diferencial. Usted siempre tienen bits "infinitesimales" de carga en $\vec r$ y $-\vec r$ produciendo trozos infinitesimales de campo que se anulan entre sí, por lo que el campo debería ser cero en cada punto. En efecto, esto es incoherente con la ley de Gauss, pero se puede atribuir simplemente al hecho de que el problema es incoherente.

Answer 2

Si no se especifica el límite, habrá muchos soluciones (incluidas las asimétricas)

El problema de esta pregunta es que la resolución de las ecuaciones diferenciales de Maxwell implica necesariamente especificar la condiciones de contorno que por lo general pueden ser elegidos los obvios, sin embargo aquí tal límite simplemente no existe.

Normalmente, es sencillo definir qué es este campo "de fondo". Obviamente, se puede ir infinitamente lejos de otras cargas y medir el campo. Tiene sentido poner este campo a cero. Sin embargo, en nuestro caso, simplemente no existe un lugar infinitamente lejano y, por tanto, no tiene sentido suponer nada sobre el "fondo". Por ejemplo las ecuaciones del vacío permiten una solución de constante $\vec E$ . Añadiendo esta solución a la derivada por el OP sólo se desplaza el "centro". Esto resuelve la paradoja de violar la simetría traslacional señalada en muchas otras respuestas.

De hecho, existen muchas soluciones que son incluso menos simétricas. La más sencilla es quizás la solución $E_x = x \rho / \epsilon_0$ , $E_y = E_z = 0$ que también satisface todas las ecuaciones.

Nota: No se puede asumir la isotropía y la simetría del campo eléctrico, ya que esto se basa en el argumento de que el campo eléctrico está completamente definido por las cargas (lo cual es cierto normalmente). Sin embargo, como se puede ver, esta suposición no es cierta.

Answer 3

Vamos a ser muy claros sobre el tipo exacto de error que estás cometiendo.

Considere los números $1,-1,1,-1,1,-1, \dots$ . Si quisieras sumarlos podrías argumentar que $1-1+1-1+1-1+\dots=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots=0+0+0+\dots=0$ .

Su amigo podría argumentar que

$$1-1+1-1+1-1+\dots=1+(-1+1)+(-1+1)++\dots=1+0+0+\dots=1.$$

El problema es que una serie infinita no es algo que realmente se calcule, así que las reglas de cálculo no se aplican, es un límite de las cosas que se calculan, y los detalles de cómo se limita son parte de la cosa que se describe.

Veamos el caso de la carga uniforme. Usted podría elegir cualquier punto $P$ cualquier magnitud $E$ y cualquier dirección $\hat{r}$ . Entonces, podrías intentar argumentar que el campo eléctrico en $P$ debe ser $\vec{E}=E\hat{r}$ . Imagina una esfera con radio $R=E3\epsilon_0/\rho$ ubicado en $P-R\hat{r}$ , tratan de argumentar que toda la carga fuera de la esfera se cancela, y que la carga dentro de la esfera importa y que por lo tanto el campo es $\vec{E}=E\hat{r}$ . Estás haciendo lo mismo que la suma infinita. Estás eligiendo cancelar lo que quieres para obtener un resultado. Pero el problema no te ha dicho que canceles de una manera determinada, eso lo has hecho tú, y eso importa. Importa el orden en que sumas las cosas cuando hay una magnitud infinita de cosas positivas y negativas. Asumir que el orden no importa es simplemente un fallo de razonamiento.

El problema es tu argumento, argumentaste que podías ignorar algo que realmente producía una cantidad infinita de campo en el positivo $x$ dirección y una cantidad infinita de campo en la dirección negativa $x$ (y de forma similar para $y$ y $z$ ). Argumentaste que podías ignorarlo y anularlos emparejándolos de la manera que quisieras. Y argumentaste que tus elecciones estaban bien, y actuaste como si tus elecciones no afectaran a la respuesta que obtuviste. Lo hicieron, y no estaba bien. Al igual que cuando tú y tu amigo argumentasteis que la "suma" es cero o uno, ambos estáis equivocados en el sentido de que no hay una suma de un número infinito de términos, sólo hay límites de sumas finitas sumadas en un orden determinado, y que a veces ni siquiera hay límites de esas sumas.

Esperemos que ahora veas tu error, y veas que es un error de argumentación, no has computado algo, has argumentado que un límite debe ser algo cuando en realidad no hay un límite que tenga ningún valor.

Físicamente debería haber un campo debido a cada carga, y si hubiera un número finito de cargas, entonces con razón hay un campo total. Pero cuando se imagina una distribución de carga continua ficticia, puede que no haya un campo total. Podrías aplicar la ley de Gauss para obtener el campo debido a cada carga, pero entonces en tu caso podrías no terminar con un número finito de campos, por lo que podría no haber un argumento justificado para que haya un campo total.

Las sumas infinitas no existen de la misma manera que las sumas finitas, las integrales son sólo símbolos de fantasía para ciertos tipos de límites (de sumas finitas) que a veces existen, y un campo total es también sólo un límite que a veces existe cuando no tienes un número finito de cargas. Una "suma" infinita, en particular, a veces importa el orden en que se suma, una suma finita no importa el orden en que se suma. Eso es porque una "suma" infinita no es sólo una suma, es un límite. Cuando planteas un campo total basado en una "suma" infinita sin decir cómo se toma el límite, entonces tienes un problema desde el principio, antes incluso de poder aplicar la ley de Gauss a cualquier supuesto campo total.

Answer 4

Creo que es un problema mal planteado. La prueba es la siguiente: debido a la isotropía y homogeneidad de la configuración, el campo tiene que ser cero en todas partes, porque no hay una dirección preferida en su problema. El campo tiene una dirección, s.t. si no fuera nula se debería tener una dirección preferida en su problema.

Apliquemos ahora su procedimiento y consideremos una esfera de radio arbitrario $R$ en un lugar arbitrario - véase la nota al final del texto. En consecuencia

$$ \oint \vec E \cdot \vec n \ \text d S = 0. \tag{I}$$

Entonces, por la ley de Gauss,

$$ Q = 0. \tag{II}$$

Uno consigue que no haya carga en la esfera. Por lo tanto, llegamos a una contradicción con la suposición de que hay una carga en todas partes. Así, la configuración propuesta por el problema no es realizable. De hecho, el universo no puede estar lleno de un solo tipo de carga - no hay razón para pensar que el universo es otra cosa que neutral en total.

Nota que $R$ no puede ser muy grande, de lo contrario podemos tener problemas con la pregunta si para grandes volúmenes o superficies las leyes integrales de Maxwell son correctas.