En las que se indica que la unión de subespacios vectoriales es un subespacio iff están ordenados, por qué requieren $F$ finito?

Question

En la parte inferior de la página 38 de Roman Avanzados de Álgebra Lineal se escribe de la siguiente (en este caso $V$ es un espacio vectorial sobre el campo $F$ $\mathcal{S}(V)$ es el conjunto de subespacios lineales de $V$):

"...si $S$, $T\in \mathcal{S}(V)$ (y $F$ es infinito), entonces $S \cup T\in \mathcal{S}(V)$ fib $S \subseteq T$ o $T \subseteq S$."

No puedo por la vida de averiguar por qué la finitud de $F$ se menciona; parece irrelevante. La prueba de $\Leftarrow$ es obvio, en cualquier caso, y la prueba de $\Rightarrow$ puede ser hecho por el contrapositivo de la siguiente manera: tome $s \in S \setminus T$ $t \in T \setminus S$ y la nota $s+t \in T \Rightarrow s\in T$ (contradicción) y de manera similar para $S$, lo $s+t \notin S \cup T$.

¿Cómo podría este argumento se descomponen para finitos $F$?

Answer 1

Como André Nicolas se menciona en los comentarios del argumento que también tiene para finitos $F$.

Lo que no se sostiene más es que un espacio vectorial puede ser una unión finita de una adecuada subespacios, por ejemplo, $$\mathbb{F}_2^2=\langle (1,0)\rangle \cup \langle (1,1)\rangle \cup \langle (0,1)\rangle.$ $

Lo que se rompe en su inducción argumento en los comentarios es que la unión de dos de estos subespacios no es un subespacio más. Por lo tanto no se puede aplicar la hipótesis de inducción, como lo han hecho para $(V_1\cup \dots\cup V_{n-1})$ $V_n$ (aquí se $V_1\cup\dots\cup V_{n-1}$ no es un subespacio).