Cálculo de la PDF dada la CDF

Question

Sé que la FDP es la primera derivada de la FCD para una variable aleatoria continua, y la diferencia para una variable aleatoria discreta. Sin embargo, me gustaría saber por qué es esto, ¿por qué hay dos casos diferentes para discreta y continua?

Answer 1

Voy a ser un poco impreciso, pero espero que sea intuitivo.

Las distribuciones de probabilidad discretas y continuas deben tratarse de forma diferente. Para cualquier valor de una distribución discreta existe una probabilidad finita. Con una moneda justa, la probabilidad de que salga cara es de 0,5, con un dado justo de seis caras, la probabilidad de que salga un 1 es de un sexto, etc. Sin embargo, la probabilidad de cualquier valor específico en una distribución continua es cero, porque un valor específico es sólo un valor de un número infinito de valores posibles, y si los valores específicos tuvieran una probabilidad >0, entonces no sumarían 1. Por lo tanto, con las distribuciones continuas hablamos de la probabilidad de rangos de valores.

"Sumar hasta" es la clave para responder a tu pregunta. Si estás familiarizado con el cálculo y su historia, entenderás que el signo integral, esa "S" alargada: $\int$ -es un tipo especial de suma: una que describe el caso límite cuando nos acercamos a la suma de un número infinito de valores desvanecidos entre los puntos $a$ y $b$ en alguna función. Si esa función es una FDP, podemos integrarla (sumar) para producir una FCD, y a la inversa, diferenciar (diferenciar) la FCD para obtener la FDP.

En el caso discreto, podemos simplemente realizar una suma aritmética estándar (por lo tanto, el gran ' $\Sigma$ ', en lugar de la notación alta 'S') y la diferenciación aritmética.

Answer 2

La diferencia es para la conveniencia y comprensión de las personas que no han tenido que soportar cursos de teoría a nivel de doctorado donde se deriva y demuestra "Integral con respecto a la medida de recuento" . Lo que demuestra que realmente no hay diferencia entre las distribuciones discretas y continuas, que una suma es realmente una integral (y como ya mencionó @Alexis, una integral es esencialmente una suma) y una diferencia es realmente una derivada (es un poco más simple ver que una derivada es una diferencia escalada apropiadamente).

Los libros de texto y los cursos los tratarán de forma diferente porque es más sencillo de enseñar/comprender desde el principio en lugar de exigir las matemáticas que demuestran que no hay diferencia.

Answer 3

(Al menos en los niveles introductorios) el término densidad se refiere sólo a las variables aleatorias continuas.

Las variables aleatorias discretas tienen un función de masa de probabilidad , a veces llamado función de probabilidad (pmf o pf, no pdf). Esto no devuelve la densidad sino la probabilidad real.

Algunas variables aleatorias no tienen ninguna de las dos cosas (pero siguen teniendo una CDF).

Piensa en lo que es la definición de una CDF ( $F_X(x) = P(X\leq x)$ ), y luego lo que sucede como $x$ se mueve un poco en ambos casos.

Ahora considere que cualquier salto en la fdc implica que un valor particular tiene una probabilidad distinta de cero (que $P(X\leq x)>P(X<x)$ y la diferencia es $P(X=x)$ ). Esa probabilidad no nula para determinados $x$ -valores es lo que registra el pmf $p_X(x)=P(X=x)$ .

(En los tratamientos más avanzados, la distinción desaparece).

Answer 4

En realidad, se pueden tratar las distribuciones continuas y discretas de forma similar, pero para ello hay que introducir las funciones delta de Dirac, los límites de la izquierda y otros conceptos "avanzados".

Por lo tanto, la forma fácil de responder a su pregunta es que la discreta CDF salta, es discontinuo. No se puede diferenciar en todas partes por eso.

De nuevo, si sabes función delta Todo es posible.