Deje $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ dos simétrica positiva definida matrices, es decir,: $$\forall x\in\mathbb{R}^n, x\neq 0, (Ax,x)>0, (Bx,x)>0,$$ where $(\ cdot,\cdot)$ is the usual scalar product in $\mathbb{R}^n$.
Es equivalente a decir que los autovalores de a y B son estrictamente positivos (y existe una ortonormales eigenbasis para ambas matrices). Pedimos estos valores propios, que no son necesariamente distintas: $$\lambda_1(A)\leq ...\leq\lambda_n(A)$$ and $$\lambda_1(B)\leq ...\leq\lambda_n(B).$$ It is not hard to prove the minimax principle for these eigenvalues: $$\lambda_k(A)=\min_{\substack{F\subset \mathbb{R}^n \\ \dim(F)=k}} \left( \max_{x\in F\backslash \{0\}} \frac{(Ax,x)}{(x,x)}\right).$$
Para $\lambda_1(A)$ $\lambda_n(A)$ tenemos más simples expresiones: $$\lambda_1(A)=\min_{x\in\mathbb{R}^n \backslash \{0\}} \frac{(Ax,x)}{(x,x)}\hspace{1cm}\text{and}\hspace{1cm}\lambda_n(A)=\max_{x\in\mathbb{R}^n \backslash \{0\}} \frac{(Ax,x)}{(x,x)}.$$
Ahora consideramos la matriz $AB$. Es posible demostrar que los valores propios de a $AB$ son los mismos que para la matriz $\sqrt{B}\cdot A\cdot \sqrt{B}$ donde $\sqrt{A}$ denota la única raíz cuadrada de la matriz de $A$: $\sqrt{A}$ es real, simétrica positiva definida y $\sqrt{A}\cdot \sqrt{A}=A$. Los autovalores de a $AB$ son por lo tanto, real y estrictamente positivo. Hemos pedido de manera similar como se hizo para a y B. Demostrar que, $\forall 1\leq k\leq n$: $$\lambda_k(A)\lambda_1(B)\leq \lambda_k(AB)\leq \lambda_k(A)\lambda_n(B).$$
Tenga en cuenta que no podemos usar el principio minimax para el $\lambda_k(AB)$ desde $AB$ no es necesariamente simétrica. Sin embargo, la sugerencia de que el ejercicio sugiere que el uso de la el principio minimax en algún momento.
Las referencias a algunos de los libros? Alguna idea de cómo debería atacar el problema? Tal vez me estoy perdiendo algunas obvias observaciones?
