Rudin 13.3 cero operador adjunto

Question

Para una tarea que tengo que demostrar que existe un densamente definido por el operador, en una de infinitas dimensiones separables espacio de Hilbert, de tal forma que su adjunto es el operador cero en el subespacio cero.

Para mostrar esto no es una referencia para el ejercicio 13.3 en el libro Análisis Funcional de Rudin. El ejercicio es como sigue

Por el teorema 13.8, $\mathscr{D}(T^*) =\{0\}$ para un densamente definido operador $T$ $H$ si y sólo si $\mathscr{G}(T)$ es denso en $H\times H$. Mostrar que esto puede suceder. Sugerencia: Deje $\{e_n:n=1,2,3, \dots\}$ ser un ortonormales base de $H$; deje $\{x_n\}$ ser un subconjunto denso de $H$; definir $Te_n=x_n$; y extender $T$ linealmente a $\mathscr{D}(T)$, el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de la base de vectores $e_n$. Demostrar que la gráfica de esta $T$ es denso en $H \times H$.

El ejercicio ha demostrado aquí. Así que ahora sabemos que $\mathscr{G}(T)$ es denso en $H \times H$. A continuación, $V\,\mathscr{G}(T)$ también es denso, donde $V$ está dado por $V\{a,b\}=\{-b,a\}$. De acuerdo con el teorema 13.8 tenemos

$ \mathscr{G}(T^*) = [V\,\mathscr{G}(T)]^{\asesino}. $

Desde $V\,\mathscr{G}(T)$ es densa tenemos que $\mathscr{G}(T^*)$ debe ser el cero vector. Desde

$ \mathscr{G}(T^*) = \{\,\{x,T^*x\} : x \in \mathscr{D}(T^*)\}, $

podemos concluir que el$\mathscr{D}(T^*) = 0$$T^*x=0$, por lo que el $T^*$ es el operador cero. Pensé que ya he terminado aquí, sin embargo, la asignación original tiene el comentario:

Una vez que tienes la idea correcta y también darse cuenta de que $\lim_{n \rightarrow \infty}(x,e_n)=0$ todos los $x\in H$, la solución es casi inmediata.

Si $y \in \mathscr{D}(T^*)$ entonces existe un $T^*y \in H$ s.t.

$ (Tx,y) = (x,T^*y) \qquad [x \in \mathscr{D}(T)] $

y $x \rightarrow (Tx,y)$ debe ser continua en $x$. Dejando $x=e_n$ tenemos

$ (x_n,y) = (e_n,T^*y) $

a continuación, utilizando la observación anterior, podemos ver que $(x_n,y) \rightarrow 0$. El uso de la continuidad de la condición de ello se sigue que $\mathscr{D}(T^*)=\{0\}$.

Si esto es correcto, es sólo otra manera de probar que la asignación. Me estoy perdiendo algo aquí?

Answer 1

Si $\{a,b\}$ es un elemento de la orthocomplement de $\mathscr{G}(T)$, $x\in\mathscr{D}(T)$ tenemos $(x,a)+(Tx,b)=0$. En particular, para $x=e_n$ obtener $(e_n,a)+(x_n,b)=0$. Tomando el límite de $n\rightarrow\infty$, vemos que el primer término se cancela debido a la observación. Lo que queda es $\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n,b)=0$. El uso de la densidad del conjunto de $\{x_n\}$, es fácil mostrar que esto implica $b=0$. En efecto: sólo tomar una secuencia $x_n$ que converge a $b$.

Esto solo lo deja a $(x,a)=0$, a partir de que $a=0$ sigue desde $\mathscr{D}(T)$ es densa. Así que el orthocomplement de $\mathscr{G}(T)$ es sólo el subespacio cero, a partir de la cual la densidad de $\mathscr{G}(T)$ sigue.