Está todo abierto, acotado y simplemente se conecta subconjunto de $\mathbb{R}^n$ esencialmente una pelota?

Question

Deje $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ ser abierto, acotado y simplemente conectado. Me pregunto si la respuesta a la pregunta siguiente es conocido:

Hay un homeomorphism $\Omega\to \operatorname{B}_1(0)$ donde $\operatorname{B}_R(0)$ es la pelota (con la topología inducida por la métrica) con un radio de $R$$0\in \mathbb{R}^n$?

La conjetura de Poincaré viene a la mente, pero que sólo afecta a los colectores sin fronteras, hasta donde yo entiendo.

Gracias por las sugerencias a la literatura, teoremas o contraejemplos, etc... :)

Answer 1

$B_1(0)\setminus\{0\}$ es un contraejemplo al $n>2$.

Answer 2

En $\mathbb R^2$, sí, todo abierto, acotado y simplemente se conecta conjunto es homeomórficos a $B_1(0)$.

Mira simplemente conectado abierto pone en $\mathbb{R}^2$ homeomórficos a una pelota? y la Prueba de que convexo abierto pone en $\mathbb{R}^n$ son homeomórficos?