$a^2+b^2+c^2 \geq 3 abc$ Que tengo que resolver esto

Question

Demostrar que $a^2+b^2+c^2 \geq 3 abc$ dado que $a+b+c \geq 3 abc$

Estoy atascado!

Answer 1

Si $a,b,c\in \Bbb R$, y si $a+b+c\ge 3abc$, entonces: $$a^2+b^2+c^2\ge 3abc$$

Prueba:

• Caso 1:

  Si $abc\le 1$, luego usamos AM-GM de la desigualdad, y tiene: $$a^2+b^2+c^2=|a|^2+|b|^2+|c|^2\ge 3\sqrt[3]{|abc|^2}\ge 3abc$$ esto es cierto porque $$\Longleftrightarrow |abc|^2\ge (abc)^3$$

• Caso 2:

  Si $abc\ge 1$: $$a+b+c\ge 3abc>0$ $ podemos utilizar Cauchy-Schwarz desigualdad de la siguiente manera: $$a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}(a+b+c)^2\ge 3a^2b^2c^2=3(|abc|)^2\ge 3abc$$