Encuentra la descomposición de la potencia primaria de 999999999999

Question

Estoy trabajando en un libro de teoría numérica elemental por diversión y me he encontrado con el siguiente problema:

Encuentre la descomposición de la potencia primaria de 999,999,999,999 (Tenga en cuenta que $101 \mid 1000001$ .).

Aparte de adivinar sin sentido los primos que lo dividen, ¿cómo debería encontrar la solución? Tengo curiosidad por saber cómo ayuda esta pista sobre 101 dividiendo 1000001. También hay una tabla de factores para números enteros menores de 10.000 en la parte posterior del libro, así que el objetivo es reducir el 999.999.999.999 a un producto de números con menos de 5 dígitos, y entonces puedo utilizar la tabla.

Gracias.

Answer 1

Como se señaló en un comentario $$999,999,999,999=10^{12}-1$$

Ahora, utilizando la diferencia de cuadrados, tenemos $$10^{12}-1=(10^6-1)(10^6+1)=(10^3-1)(10^3+1)(10^6+1)$$

Por suma/diferencia de cubos tenemos $$10^{12}-1=(10-1)(10^2+10+1)(10+1)(10^2-10+1)(10^2+1)(10^4-10^2+1)\\ =9 \cdot 111 \cdot 11\cdot 91 \cdot 101 \cdot 9901$$

Cada uno de esos números es fácil de factorizar ahora.

P.D.

Se puede tener más en cuenta $91$ : $$91=100-9=10^2-3^2=(10-3)(10+3)$$

Answer 2

Una pista:

$$999,999·1,000,001 = 999,999,999,999$$

$$999·1,001 = 999,999$$

El resto lo puedes averiguar tú ;D

Answer 3

Para empezar, es $999,999\times1,000,001$ así que si puedes factorizar cada uno de ellos, has terminado.

Obviamente $999,999=3\times3\times111,111$ y esta última es obviamente divisible por $3$ , obteniendo $999,999=3\times3\times3\times37,037$ . Entonces, obviamente, tienes la divisibilidad por $37$ Así que $999,999=3\times3\times3\times37\times1001$ . Factorización $1001$ no es difícil ya que si empiezas a comprobar factores primos pequeños ves que es divisible por $7$ Así que $1001=7\times143$ y $143=11\times13$ .

Ahora trata con $1,000,001$ . Ya que se entrega el hecho de que es divisible por $101$ , tienes $1,000,001=101\times 9901$ . Si no me equivoco, $9901$ es primo, pero no sé cómo demostrarlo salvo por fuerza bruta: dividir por cada número primo $\le \sqrt{9901}\approx99.5$ .

Answer 4

Con $1000001=101\cdot 9901$ y $999999=3^3\cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$ obtenemos todos los factores primos de $999999999999=999999\cdot 1000001$ .