Estoy teniendo problemas para reproducir algunos de los resultados con respecto a las ondas gravitacionales en la Wald General de la Relatividad.
En la sección 4.4 de la radiación gravitatoria, eq.4.4.49 se muestra el campo generado por una variable de masas de cuadrupolo:
$$ \gamma_{i j}(t,r)=\frac{2}{3R} \frac{d^2 q_{i j}}{dt^2} \bigg|_{t'=t-R/c} $$
Quiero verificar que este simple campo satisface los Lorenz calibre (eq.4.4.25)
$$\partial_{i} \gamma_{i j}=0 $$
Escribí el $q_{i j}$ por una simple rotación binaria
$ \ddot{q}_{i j} = \begin{bmatrix} 2 \omega^2 \cos{2\omega(t-R/c)} & - 2 \omega^2 \sin{2\omega(t-R/c)} & 0 \\ - 2 \omega^2 \sin{2\omega(t-R/c)} & - 2 \omega^2 \cos{2\omega(t-R/c)} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $
entonces, escribí $R=\big|(x,y,z)\big|$
$\partial_{i} \gamma_{i 3}$ trivialmente cancela, pero cuando voy a calcular las componentes de la divergencia puedo conseguir
$$ \partial_{i} \gamma_{i 1} = \frac{2 \omega^2([-c x+2 y R \omega]\cos{2\omega(t-R/c)}+[c y+2 x R \omega]\sin{2\omega(t-R/c)})}{c R^3} $$
$$ \partial_{i} \gamma_{i 2} = \frac{2 \omega^2([c y+2 x R \omega]\cos{2\omega(t-R/c)}+[c x-2 y R \omega]\sin{2\omega(t-R/c)})}{c R^3} $$
Que como te habrás dado cuenta, no son cero en general
Dado que el Lorenz indicador se usa en todas partes uno quiere para el estudio de propagación de ondas gravitacionales, parece inesperado que el campo lejano de una simple binario cuadrupolo no está automáticamente en el medidor de Lorenz
Pregunta: yo quiero entender lo que está mal aquí, si no es nada malo. Estoy equivocado/ingenuo en contar con este simple campo en el Lorenz calibre? Hay una transformación simple que puede ser aplicada a este campo con el fin de ser manifiestamente en armónica coordenadas?
