Amplitud de las matrices de permutación

Question

El conjunto $P$ de $n \times n$ matrices de permutación abarca un subespacio de dimensión $(n-1)^2+1$ dentro de, por ejemplo, el $n \times n$ matrices complejas. ¿Existe otra descripción de este espacio? En particular, estoy interesado en una descripción de un subconjunto de las matrices de permutación que formará una base.

Para $n=1$ y $2$ Esto es completamente trivial: el conjunto de todas las matrices de permutación es linealmente independiente. Para $n=3$ la dimensión de su tramo es $5$ y cinco de las seis matrices de permutación son linealmente independientes, como puede verse en la siguiente relación de dependencia:

$$ \sum_{M \in P} \det (M) \ M = 0 $$

Así que incluso en el caso $n=4$ ¿existe una descripción natural de un $10$ ¿base matricial?

Answer 1

Como señala user1551, su espacio es la extensión de todas las "matrices mágicas" -- todas $n\times n$ matrices para las que la suma de cada fila y columna es igual a la misma constante (dependiendo de la matriz). Como álgebra esto es isomorfo a $\mathbb{C} \oplus M_{n-1}(\mathbb{C})$ .

Puedes pensar en esto como la imagen en $\operatorname{End}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}^n)$ de la representación natural de $S_n$ en $n$ puntos tal vez de ahí venga su pregunta. La representación se descompone como la suma directa de la rep trivial y una $(n-1)$ -irreducible.

El conjunto de matrices de permutación procedentes de las permutaciones $1$ , $(1,r)$ , $(1,r,s)$ para $1\neq r \neq s \neq 1$ forman la base de este espacio. Para ver que son linealmente independientes, considera las primeras filas y luego las primeras columnas de las matrices correspondientes.

Answer 2

El teorema de Birkhoff-von Neumann afirma que el casco convexo de las matrices de permutación es el conjunto de todas las matrices doblemente estocásticas . Por lo tanto, el conjunto de todas las matrices de permutación viene dado por $S=\{X\in M_{n,n}(\mathbb{C}): \textrm{ all column sums and row sums of } X \textrm{ are equal}\}$ .