¿Son los grados de libertad de la prueba de Welch siempre menores que la DF de la prueba combinada?

Question

Estoy dando un curso de estadística básica, y estamos haciendo la prueba t para dos muestras independientes con varianzas desiguales (prueba de Welch). En los ejemplos que he visto, los grados de libertad ajustados utilizados por la prueba de Welch son siempre menores o iguales a $n_1+n_2-2$ .

¿Es siempre así? ¿Reduce siempre la prueba de Welch (o deja inalterados) los grados de libertad de la prueba t agrupada (varianzas iguales)?

Y sobre el mismo tema, si las desviaciones estándar de la muestra son iguales, ¿las DF de la prueba de Welch se reducen a $n_1+n_2-2$ ? He mirado la fórmula, pero el álgebra se ha complicado.

Answer 1

Sí.

El test de Welch utiliza el Ajuste Satterthaite-Welch para los grados de libertad:
$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ Como puedes ver, es bastante feo (y de hecho se aproxima numéricamente), pero requiere que $df'<df$ . Aquí hay una referencia: Howell (2002, p. 214) afirma que, " $df'$ está limitado por el menor de $n_1-1$ y $n_2-1$ en un extremo y por $n_1+n_2-2~df$ en el otro".

Aquí están las referencias "oficiales" (nótese que el ajuste anterior -el que se suele utilizar- se deriva en el segundo documento):

• Welch, B.L. (1938). "La significación de la diferencia entre dos medias cuando las varianzas de la población son desiguales". Biometrika, 29, 3/4 , pp. 350-62 .
• Satterthwaite, F.E. (1946). "An Approximate Distribution of Estimates of Variance Components". Boletín de Biometría, 2, 6 , pp. 110-114 .
• Welch, B.L. (1947). "La generalización del problema de "Student" cuando intervienen varias varianzas poblacionales diferentes". Biometrika, 34, 1/2 , pp. 28-35 .

(Si se busca en Google, se pueden encontrar versiones sin comprimir).