Aproximación de los isomorfismos de los haces de fibras

Question

Supongamos que $p_1:E_1 \to B$ , $p_2:E_2 \to B$ son dos $C^ \infty$ paquetes de fibra que son $C^1$ isomórfico. Es decir, existe un $C^1$ diffeomorfismo $f:E_1 \to E_2$ satisfactoria $p_2 \circ f = p_1$ .

Pregunta: ¿Se deduce que $p_1:E_1 \to B$ y $p_2:E_2 \to B$ son $C^ \infty$ isomorfo?

Motivación: Si $M, N$ son dos $C^ \infty$ colectores que son $C^1$ diffeomorfo, entonces son $C^ \infty$ diffeomórfico (véase, por ejemplo, Topología diferencial por Hirsch, capítulo 2). Sin embargo, no estoy seguro de que este resultado pueda extenderse en el contexto de los haces de fibras para asegurar que la aproximación $C^ \infty$ Los diffeomorfismos preservan las fibras.

Answer 1

Esto es cierto. Aquí hay una prueba de gran potencia. Hay pruebas en el sabor de Hirsch; no conozco una referencia, pero con un poco de gusto podrías probarlas.

$C^k$ paquetes con fibra $M$ son los mismos que los paquetes de fibra con grupo de estructura $\text {Diff}^k(M)$ . Por lo tanto, se clasifican en mapas $X \to B \text {Diff}^k(M)$ siempre y cuando $X$ es paracompacto. Entonces su pregunta sigue demostrando que el mapa $B \text {Diff}^ \infty (M) \to B \text {Diff}^1(M)$ es una equivalencia de homotropía; porque tomando el espacio de bucle de esta recuperamos la inclusión de homomorfismo, basta con mostrar que $\text {Diff}^ \infty (M) \to \text {Diff}^1(M)$ es una equivalencia con la homotopía. Pero esto se desprende de lo que está escrito en Hirsch:

Deje que $f: S^k \to \text {Diff}^1(M)$ ser el valor de una esfera $C^1$ diffeomorfismos de $M$ . Extendiendo la teoría de aproximación suave de Hirsch al caso en que el codominio es un colector de Banach, podemos hacer que el homotopo $f$ para ser $C^1$ esto significa que el mapa inducido $f: S^k \times M \to M$ es $C^1$ no sólo $C^1$ en el $M$ -dirección. Ahora esto es homotópico para un mapa liso $f': S^k \times M \to M$ porque $f(x,-)$ era un difeomorfismo y $f'$ se escoge lo suficientemente cerca de $f$ , $f'(x,-)$ es también un difeomorfismo. (Los diffeomorfismos están abiertos en el $C^1$ topología.) Por lo tanto, el mapa $\text {Diff}^ \infty (M) \to \text {Diff}^1(M)$ es surjectiva en $\pi_k$ . Un argumento similar en el caso del límite muestra que es inyectable en los grupos de homotropía. Porque $\text {Diff}^k(M)$ son múltiples metrizables, un teorema de Palais dice que una equivalencia de homotropía débil entre ellos es en realidad una equivalencia de homotropía, como se desea.