¿Cuándo $AB=BA$ ?

Question

Dadas dos matrices cuadradas $A,B$ con la misma dimensión, ¿qué condiciones conducirán a este resultado? ¿O a qué resultado llevará esta condición? Pensé que esta era una pregunta bastante simple, pero puedo encontrar poca información al respecto. Gracias.

Answer 1

Si $A,B$ son diagonalizables, conmutan si y sólo si son simultáneamente diagonalizables. Para una prueba, véase aquí . Esto, por supuesto, significa que tienen un conjunto común de vectores propios.

Si $A,B$ son normales (es decir, unitariamente diagonalizables), conmutan si y sólo si son simultáneamente unitariamente diagonalizables. La prueba se puede hacer utilizando la Descomposición de Schur de una familia conmutada . Esto, por supuesto, significa que tienen un conjunto común de vectores propios ortonormales.

Answer 2

He aquí algunos casos diferentes que se me ocurren:

1. $A=B$ .
2. O bien $A=cI$ o $B=cI$ como ya ha dicho Paul.
3. $A$ y $B$ son ambas matrices diagonales.
4. Existe una matriz invertible $P$ tal que $P^{-1}AP$ y $P^{-1}BP$ son ambas diagonales.

Answer 3

Esto es demasiado largo para un comentario, así que lo he publicado como respuesta.

Creo que realmente depende de lo que $A$ o $B$ es. Por ejemplo, si $A=cI$ donde $I$ es la matriz de identidad, entonces $AB=BA$ para todas las matrices $B$ . De hecho, lo contrario es cierto:

Si $A$ es un $n\times n$ matriz tal que $AB=BA$ para todos $n\times n$ matrices $B$ entonces $A=c I$ para alguna constante $c$ .

Por lo tanto, si $A$ no está en la forma de $c I$ debe haber alguna matriz $B$ tal que $AB\neq BA$ .

Answer 4

En realidad existe una condición suficiente y necesaria para $M_n(\mathbb{C})$ :

Dejemos que $J$ sea la forma canónica de Jordan de una matriz compleja $A$ es decir, $$A=PJP^{-1}=P\mathrm{diag}(J_1,\cdots,J_s)P^{-1}$$ donde $$J_i=\lambda_iI+N_i=\left(\begin{matrix} \lambda_i & & &\\ 1 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda_i \end{matrix}\right).$$ Entonces las matrices conmutables con $A$ tienen la forma de $$B=PB_1P^{-1}=P(B_{ij})P^{-1}$$ donde $B_1=(B_{ij})$ tiene el mismo bloqueo que $J$ y $$B_{ij}=\begin{cases} 0 &\mbox{if } \lambda_i\ne\lambda_j\\ \mbox{a }\unicode{x201C}\mbox{lower-triangle-layered matrix''} & \mbox{if } \lambda_i=\lambda_j \end{cases}$$

La referencia es mi libro de texto de álgebra lineal, aunque no en inglés. Aquí hay un ejemplo en el libro:

La parte principal de la prueba consiste en comparar las entradas correspondientes en ambos lados de la ecuación $N_iB_{ij}=B_{ij}N_j$ cuando $\lambda_i=\lambda_j$ .