Hoy en clase nos pusimos a ver cómo utilizar la Brouwer teorema de Punto Fijo de $D^2$ para demostrar que $3 \times 3$ matriz $M$ con real positivo entradas tiene un autovector con un autovalor positivo. La idea es así: considerar $T = \{ (x,y,z) \mid x + y + z = 1, x, y, z \geq 0 \}$. Este es un triángulo en $\mathbb R^3$. Tomar un punto de $\overline x \in T$, y considerar $\lambda_x M \overline x \in T$, $\lambda_x \in \mathbb R$. Este es un vector que es lo que equivale a unos $y \T$. En particular, $\lambda_x M$ es un homeomorphism $T \T$. Por lo tanto tiene un punto fijo de $\overline x$. Por lo que $\lambda_x M \overline x =\overline x \implica M \overline x = \frac{1}{\lambda_x} \overline x$. Por lo que $\overline$ x es un autovector con autovalor $\frac{1}{\lambda _x}$, que sin duda es positivo.
Yo estaba muy sorprendido cuando esta pregunta se acercó, ya que estamos estudiando fundamentales de los grupos en el momento y que no parece el más mínimo relacionados con autovalores en primera. Mi pregunta es: ¿cuáles son algunos otros ejemplo de las sorprendentes aplicaciones de la topología?
