Solucionar $x^2+y^2=2$$x,y\in\mathbb Q$.

Question

Solucionar $x^2+y^2=2$$x,y\in\mathbb Q$.

Creo que la respuesta debe ser en términos de 1 variable de tipo entero $\in\mathbb Z$ solamente. Reescribir la ecuación de a $(x+y)^2+(x-y)^2=2^2$, entonces por la fórmula de ternas pitagóricas, $x+y=u^2-v^2,x-y=2uv,2=u^2+v^2$. ¿Cómo puedo proceder? Gracias.

Answer 1

Las soluciones a la ecuación de $x^2+y^2=2$ $x,y\in \mathbb{Q}$ pueden ser parametrizadas por $$\left(x,y\right)=\left(\frac{1+2t-t^{2}}{1+t^{2}},\ \frac{1-2t-t^{2}}{1+t^{2}}\right),$$ where $t\in \mathbb{Q}$.

De esta manera se sigue reescribiendo la ecuación como $$\left(\frac{x+y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{x-y}{2}\right)^{2}=1,$$ and using the parametrization for $u^2+v^2=1$. Consequently, we see that $$\left(\frac{x+y}{2},\ \frac{x-y}{2}\right)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\ \frac{2t}{1+t^{2}}\right),$$ and so we arrive at $$\left(x,y\right)=\left(\frac{1+2t-t^{2}}{1+t^{2}},\ \frac{1-2t-t^{2}}{1+t^{2}}\right).$$

Answer 2

Podemos imitar a un método estándar de encontrar un racional parametrización de la unidad de círculo.

Tenga en cuenta que el punto de $A=(1,1)$ está en nuestra curva. Deje $m$ ser racional, y considerar la recta con pendiente $m$ pasando a través de $(1,1)$. Esto ha ecuación de $y=m(x-1)+1$.

Sustituyendo en la $x^2+y^2=2$, llegamos después de un tiempo la ecuación $$x^2(m^2+1)-2(m^2-m)x+m^2-2m-1=0.$$ Una de las raíces de esta ecuación es $x=1$. Ya que el producto de las raíces es $\frac{m^2-2m+1}{m^2+1}$, se deduce que la otra raíz es dada por $$x=\frac{m^2-2m-1}{m^2+1}.$$ En particular, esta raíz es racional. Por el contrario, si $P\ne A$ es (casi) cualquier racionales punto de la curva, entonces la pendiente $m$ de la línea de $AP$ es racional. (La excepción es $(1,-1)$, desde entonces technicallly la pendiente no existe.)

El valor de $y$ correspondiente a la anterior $x$ es $$y=-\frac{m^2+2m-1}{m^2+1}.$$ Estirando un poco las cosas, podemos ver el punto excepcional $(1,-1)$ también como en la parametrización de la curva, si permitimos "$m=\infty$."