$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n-1}k^2 $

Question

Calcular este límite de la serie:

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n-1}k^2 $

He utilizado la definición de la integral definida

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty} S_{n}$

donde $\displaystyle f(x)=x^2$, $\displaystyle [a,b]=[0,1]$; ya que la función es continua en $\displaystyle [0, 1]$, entonces es ciertamente integrado.

$\displaystyle \int_{0}^{1}x^2dx=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n}\ \left(\frac{k}{n}\right)^2=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2$

Tenemos:

$\displaystyle\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$

entonces

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n-1}k^2 =\frac{1}{3}$

Cualquier sugerencia, por favor? Este límite se puede resolver de otras maneras?

Gracias.

Answer 1

Por inducción, se puede demostrar que

$\displaystyle \sum_{k = 1}^n k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

Así

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k = 1}^{n - 1} k^2 = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^3}\frac{(n - 1)(n)(2(n - 1) + 1)}{6} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^3}\frac{(n - 1)(n)(2n - 1)}{6} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6n^3}$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} = \frac{1}{3}$

Answer 2

Bien hecho. La suma de Riemann argumento se llevó a cabo de manera eficiente.

Otra manera de resolver el problema, podemos utilizar el hecho de que la suma de $\sum_{k=1}^n k^2$ está dado por la fórmula explícita $$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
He citado la suma de $n$, debido a que es la versión estándar, pero usted puede conseguir el explícito fórmula para la suma de los $n-1$, haciendo que el obvio sustitución.

Hay muchas maneras de demostrar la fórmula de arriba. Una forma es a través de la inducción.

Así que (después de la sustitución) queremos encontrar el límite de $$\frac{(n-1)(n)(2n-1)}{6n^3}.$$ Cancelar una $n$, a continuación, dividir la parte superior e inferior por $n^2$. Queremos $$\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)}{6}.$$

Comentario: De explícito adicional "las sumas de las potencias" fórmulas, consulte el artículo de la Wikipedia en Faulhaber la Fórmula.

Answer 3

Lo que tiene está muy bien. Si se conoce la fórmula $\sum_{k=1}^nk^2=\frac16n(n+1)(2n+1)$, uno puede evitar la integración:

$$\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac16n(n-1)(2n-1)=\frac{2n^3-3n^2+n}6\;,$$

por lo $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\lim_{n\to\infty}\frac{2-\frac3n+\frac1n}6=\frac13\;.$$

Answer 4

También, si usted sabe, esta es una aplicación directa de Stoltz-Cezaro:

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}k^2-\sum_{k=1}^{n-1}k^2}{(n+1)^{3}-n^3}= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^2}{3n^2+3n+1}=\frac{1}{3}$$