Definición del problema
Tengo que demostrar la siguiente afirmación:
Dejemos que $\left(E,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle \right)$ sea un espacio de producto interno sobre $\mathbb{R}$ . demostrar que para todos $x,y\in E$ tenemos $$ \left(\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \right)\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|\leq\left\Vert x+y\right\Vert \cdot\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert . $$
Mis esfuerzos
Intenté dos formas diferentes de probarlo, ambas sin éxito..
Primero:
Primero, elevando al cuadrado toda la desigualdad:
$$ \left(\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \right)^{2}\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}\cdot\left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}. $$ Tenemos de Cauchy-Schwarz que $$ \left|\left\langle x,y\right\rangle \right|\leq\left\Vert x\right\Vert \cdot\left\Vert y\right\Vert $$ Así obtenemos $$ \left(\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \right)^{2}\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\leq\left(\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \right)^{2}\cdot\left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}=\left(\left\Vert x\right\Vert ^{2}+\left\Vert y\right\Vert ^{2}+2\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \right)\cdot\left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}. $$ Por el teorema de Pitágoras, obtenemos $$ \left(\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \right)^{2}\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\leq\left(\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}+2\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \right)\cdot\left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}. $$ Ya casi lo tenemos, salvo un plazo extra muy molesto: $$ \left(\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \right)^{2}\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}\cdot\left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}+2\left\Vert x\right\Vert ^{3}\left\Vert y\right\Vert ^{3}. $$
Segundo
Traté después de utilizar sólo la desigualdad de Cauchy-Schwarz, no al cuadrado: $$ \left(\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \right)\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|\leq\left(\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \right)\cdot\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert . $$
Mi pregunta
¿Podría darme una pista/idea sobre cómo resolver este problema? ¿Qué lema/teorema debería utilizar?
Gracias
Franck
