Demostrar que $4^{2n} + 10n -1$ es un múltiplo de 25

Question

Probar que si $n$ es un entero positivo, a continuación, $4^{2n} + 10n - 1$ es un múltiplo de a $25$

Veo que la prueba por inducción sería lo lógico aquí, así que empezar tratando $n=1$ y está muy bien. A continuación, asumir que la declaración es verdadera y sustituto $n$$n+1$, por lo que tengo lo siguiente:

$4^{2(n+1)} + 10(n+1) - 1$

Y tengo que demostrar que lo anterior es un múltiplo de 25. Traté de simplificar, pero me parece que no puede hacerlo bien. Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Aquí está una prueba por inducción. Supongamos $4^{2n}+10n-1=25k$.

$$4^{2(n+1)}+10(n+1)-1$$ $$=16\cdot 4^{2n}+10n+9$$ $$=16\cdot 4^{2n}+160n-16-150n+25$$ $$=16(4^{2n}+10n-1)-150n+25$$ $$=16(25k)-25\cdot 6n+25$$ $$=25(16k-6n+1)$$

Answer 2

1) Prueba por inducción:

Set $4^{2n}+10n-1=25k$ y el uso de este para sustituir el término $4^{2(n+1)}$ en su expresión.

Queda por demostrar que divide 25$16(1-10n)+10(n+1)-1$, lo que es obviamente cierto.

2) más Corto que la prueba sin la inducción: Expandir $(5-1)^{2n}$ usando el teorema del binomio.

Answer 3

Aquí están los detalles para completar la inducción argumento de que empezó. Hay mejores maneras de inducción.

Por la hipótesis de inducción, $4^{2n}+10n-1$ es un múltiplo de a $25$. Por lo que es suficiente para demostrar que $$\left(4^{2n+2}+10(n+1)-1\right)-\left(4^{2n}+10n-1\right)\tag{$1$}$$ es un múltiplo de a $25$.

La expresión de $(1)$ simplifica a $4^{2n+2}-4^{2n}+10$. Pero $4^{2n+2}=(16)4^{2n}$, por lo que queremos demostrar que $(15)4^{2n}+10$ es un múltiplo de a $25$.

Es suficiente para probar que $(3)4^{2n}+2$ es un múltiplo de a $5$. Tenemos $4\equiv -1\pmod{5}$, lo $4^{2n}\equiv 1\pmod{5}$, y por lo tanto $(3)4^{2n}+2\equiv 5\equiv 0\pmod{5}$.

(Si usted no sabe acerca de congruencias, podemos notar que la representación decimal de $4^{2n}$ termina en $6$, ya que el $4^2=16$, y a la conclusión de que la representación decimal de $(3)4^{2n}+2$ termina en $0$.)

Answer 4

$\rm\displaystyle 25\ |\ 10n\!-\!(1\!-\!4^{2n}) \iff 5\ |\ 2n - \frac{1-(-4)^{2n}}{5}.\ $ Ahora a través de la $\rm\ \dfrac{1-x^k}{1-x}\, =\, 1\!+\!x\!+\cdots+x^{k-1}\ $ $\rm\displaystyle we\ easily\ calculate\ that, \ mod\ 5\!:\, \frac{1-(-4)^{2n}}{1-(-4)\ \ \,}\, =\, 1\!+\!1\!+\cdots + 1^{2n-1} \equiv\, 2n\ \ $ $\rm\: -4\equiv 1$

Answer 5

Esta es una interesante propiedad, por lo que podemos describir con precisión cuando es cierto? La respuesta es sí:

Teorema: En un anillo arbitrario, $q^n$ es una función afín de $n$ si y sólo si $(q-1)^2=0$. Luego tenemos la $q^n=1+n(q-1)$.

Prueba: Si $q^n=a+bn$, tomando $n=0$ $n=1$ vemos que $a=1$$b=q-1$. Tomando $n=2$ resultados en $q^2=2q-1$$(q-1)^2=0$.

Por el contrario, cuando se $(q-1)^2=0$, es fácil probar la relación por inducción: $$q^0=1$$ $$q^{n+1}=q(1+n(q-1))=nq^2-q(n-1)=1+(n+1)(q-1)$$

También hay una prueba directa por ver que $q^n=(1+(q-1))^n=\sum_{i=0}^n \tbinom{n}{i} (q-1)^i=1+n(q-1)$.

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Aplicación: en $\mathbb Z/25\mathbb Z$, si $q=4^2$, $(q-1)^2=15^2=0$, por lo $4^{2n}=1+15n$, o, equivalentemente,$4^{2n}+10n-1=0$.