Estás buscando el proyectiva del tensor de la norma. Explícitamente, para $\omega$ en el algebraicas producto tensor $X \otimes_{\mathbb{R}} Y$ está dada por
\[
\Vert \omega\Vert_{\pi} = \inf\left\{\sum \|x_{i}\|\,\|y_{i}\|\,:\,\omega = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \otimes y_{i}\right\}
\]
y asociadas a un producto tensor $X \hat{\otimes}_{\pi} Y$ es la culminación de la algebraicas producto tensor con respecto a la norma (la expresión anterior, obviamente, define un semi-norma, con el fin de mostrar que se trata de una norma, que tienes que pensar un poco).
Desde $X \otimes_{\mathbb{R}} Y$ se encuentra dentro de $X \hat{\otimes}_{\pi} Y$ usted obtiene un bilineal mapa de $m:X \times Y \to X \hat{\otimes}_{\pi} Y$ mediante el envío de $(x,y)$ $x \otimes y$y, por definición,$\Vert x \otimes y\Vert_{\pi} \leq \|x\|\,\|y\|$, de modo que $\|m\| \leq 1$.
Lo básico que tienes que comprobar es que la desigualdad anterior es en realidad una igualdad de $\Vert x \otimes y\Vert_{\pi} = \|x\|\,\|y\|$ y el uso de esto es fácil probar que un continuo bilineal mapa de $\Phi: X \times Y \to Z$ rendimientos lineal único mapa de $\varphi: X \hat{\otimes}_{\pi} Y \to Z$ de la misma norma (por la propiedad de la algebraicas producto tensor $\Phi$ da un lineal mapa en $X \otimes_{\mathbb{R}} Y$ y si has comprobado que esto lineal mapa es continua, es continua en un subespacio denso, por lo tanto se extiende únicamente a $X \hat{\otimes}_{\pi} Y$).
En otras palabras, el mapa de $m: X \times Y \to X \hat{\otimes}_{\pi} Y$ de los rendimientos de un isomorfismo isométrico
$$\displaystyle
B(X \hat{\otimes}_{\pi} Y, Z) \B^2(X,Y, Z)
$$
por la pre-composición $\varphi \mapsto \varphi \circ m = \Phi$. Como ya se observó $B^2(X,Y;Z) \cong B(X,B(Y,Z))$ que los rendimientos de la isométrica isomorphisms
\[
B(X \hat{\otimes}_{\pi} Y, Z) \cong B(X,B(Y,Z)) \cong B^2(X,Y, Z)
\]
como en el caso de espacios vectoriales. De hecho, usted puede convencerse de que tiene que definir el proyectiva tensor de la norma, puesto que por encima de si desea que la primera isomorfismo para celebrar, ya para $Z = \mathbb{R}$.
Usted puede encontrar todo esto y mucho más en gran detalle en la R. A. Ryan, el libro Introducción al tensor de productos de los espacios de Banach, Springer, 2001.
