Demostrar la desigualdad

Question

Tengo que demostrar que

$$\frac{k(k+1)}{2}\left(\frac{a_1^2}{k} + \frac{a_2^2}{k-1} + \ldots + \frac{a_k^2}{1}\right) \geq (a_1 + a_2 + \ldots + a_k)^2\;,$$ where $a_1, a_2, \dots, a_k$ es un conjunto de reales.

En primer lugar:

Puedo suponer sin pérdida de generalidad que $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$ ?

Eso es lo que tengo:

He utilizado la fórmula de $\left \langle a,b \right \rangle \leq |a||b|$:

$$\begin{align*}\left \langle a,1 \right \rangle &\leq |a||1|\\ (a_1 + a_2 + \ldots + a_k) &\leq \sqrt{(a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_k^2)}\sqrt{k} \end{align*}$$
Plaza:
$$(a_1 + a_2 + \ldots + a_k)^2 \leq k(a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_k^2)$$ Ahora tengo que demostrar que:
$$\frac{k(k+1)}{2}\left(\frac{a_1^2}{k} + \frac{a_2^2}{k-1} + \ldots + \frac{a_k^2}{1}\right) \geq k(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_k^2)$$ Pero no estoy seguro de cómo. Alguna sugerencia?

Answer 1

Usted puede simplemente utilizar la desigualdad de la ecuación cuadrática y la media aritmética de $k$ elementos $\frac{a_1}k$, $k-1$ elementos de la $\frac{a_2}{k-1}$ etc. Para que la desigualdad entre cuadrática y la media aritmética ver, por ejemplo, la desigualdad de Jensen y la Raíz Cuadrada Media-Media Aritmético-Geométrica Media Armónica la media de la Desigualdad en AoPS.

Media aritmética es $$a=\frac{a_1+\dots+a_k}{\frac{k(k+1)}2}.$$

Media cuadrática es $$q=\sqrt{\frac{\frac{a_1^2}k+\frac{a_2^2}{k-1}+\dots+a_k^2}{\frac{k(k+1)}2}}.$$

Así que a partir de $q^2\ge a^2$ consigue $$\frac{\frac{a_1^2}k+\frac{a_2^2}{k-1}+\dots+a_k^2}{\frac{k(k+1)}2} \ge \left(\frac{a_1+\dots+a_k}{\frac{k(k+1)}2}\right)^2$$ y $$\frac{k(k+1)}2 \left(\frac{a_1^2}k+\frac{a_2^2}{k+1}+\dots+a_k^2\right) \ge (a_1+\dots+a_k)^2.$$

Answer 2

Trate de considerar en lugar de los vectores $(\frac{a_1}{1},...,\frac{a_k}{\sqrt{k}})$$(1,...,\sqrt{k})$.

Answer 3

Me estoy dando una solución mediante el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad (como proceder por el cartel de este problema), es decir, $(a,b)\leq ||a||||b||$ donde $a,b\in \mathbb R^{n}$

Tome $n=\frac{k(k+1)}{2}$ $a=b$ donde $a$ $\frac{k(k+1)}{2}$ tupla vector con la primera $k$ entradas $\frac{a_{1}}{k}$, la segunda $(k-1)$ entradas $\frac{a_{2}}{k-1}$, próxima $(k-2)$ entradas $\frac{a_{3}}{k-2}$....del mismo modo... la última entrada es $\frac{a_{k}}{1}$.