Hay un anillo de modo que cualquiera de los dos distintos de cero elementos no ir a trabajar?

Question

Me preguntaba si había un anillo, de modo que cualquiera de los dos distintos de cero elementos no conmutan.

Formalmente, hay un anillo de $R\not=\{0\}$, de modo que

$$\forall x,y\in R\setminus\{0\}, x\not= y\implies xy\not=yx$$

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Obviamente, $\{0\}$ $\Bbb Z/2\Bbb Z$ trabajo pero estoy buscando un no-trivial ejemplo (o una prueba de que no hay ninguno).

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Si $R$$1$, si tenemos $x\in R$, de modo que $x\not=0$ $x\not=1$ (que es, $R\not=\Bbb Z/2\Bbb Z$), $x$ y $1$ viaje.

$$\boxed{R\text{ doesn't have }1}$$

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Deje $x\in R$

$(x+x)x=xx+xx=x(x+x)$

Tenemos $x=0$ o $x+x=0$ o $x+x=x$

Por lo $x+x=0$

$$\boxed{R\text{ has characteristic }2}$$

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Supongamos que tenemos un nilpotent elemento $x\in R$

$\exists n\in\Bbb N^*,x^{n}=0$

Si $n=1$, $x=0$

Si $n=2$, $x^2=0$

Si $n>2$, $x^{n-1}\not=x$ pero tiene que desplazarse

$$\boxed{\text{The square of a nilpotent element is }0}$$

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(Dado por Arturo en los comentarios)

Deje $x\in R$

$x$ $x^2$ conmutar por lo $x=0$ o $x^2=0$ o $x=x^2$

$$\boxed{\text{Every element is either nilpotent or idempotent.}}$$

Answer 1

Kevin Carlson sugerencia en los comentarios que hace el trabajo. Es decir, tomar la $\mathbb Z/2\mathbb Z$-espacio vectorial $$R=\mathbb Z/2\mathbb Z v\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z w$$ y definir la multiplicación mediante el establecimiento de $v^2=v=vw$, $w^2=w=wv$ y se extiende linealmente a la suma. En particular, $(av+bw)(cv+dw)=a(c+d)v+b(c+d)w=(c+d)(av+bw)$$a,b,c,d\in\mathbb Z/ 2\mathbb Z$. Esta multiplicación es fácil comprobar a ser asociativo mediante la comprobación de que $$(av+bw)(cv+dw)(ev+fw)=(c+d)(e+f)(av+bw)$$ en cualquier orden de la multiplicación. (De hecho, este es asociativa a través de cualquier anillo de coeficientes.)

A pesar de que Kevin ya se ha demostrado que el $R$ satisface: $$\forall x,y\in R\setminus\{0\}, x\not= y\implies xy\not=yx$$ pero para la integridad voy a incluir ese argumento aquí. Supongamos que $x=av+bw\neq 0$, $y=cv+dw\neq 0$, y $xy=yx$. Entonces $$a(c+d)v+b(c+d)w=c(a+b)v+d(a+b)w$$ así, en particular, $a(c+d)=c(a+b)$ $d(a+b)=b(c+d)$ e lo $ad=cb$. Ahora si $a=0$, entonces a partir de la $x\neq 0$ debemos tener $b=1$, por lo tanto $c=0$$d=1$, por lo $x=y$. Idéntico argumento se aplica al caso de $b=0$, por lo que podemos suponer $a=b=1$. Pero, a continuación, $c=d=1$ así que de nuevo $x=y$. Por lo tanto, no igual no cero elementos no conmutan. (También debo señalar que aquí, tenemos que los coeficientes son todos en $\mathbb Z/2\mathbb Z$. Desde $v,w$ es idempotente, es fácil ver que un arbitrario coeficiente de anillo de carácter $2$ no trabajo a partir de las propiedades enumeradas en la OP.)

Answer 2

Aquí es un poco más general de la solución, a lo largo de las mismas líneas.

Considere la posibilidad de un abelian (aditivo) grupo $$ G =\oplus_{\alpha\en Un} {\mathbb Z}/2 {\mathbb Z}, $$ donde $A$ es cualquier conjunto de cardinalidad $\ge 2$. La propiedad útil que $G$ satisface es que $x+x=0$ por cada $x\in G$. Definir el siguiente producto de la operación en $G$: Para todos los $x, y\in G$, $$ xy=y $$ a menos $x=0$, en cuyo caso, por supuesto, $xy=0$. A continuación, es sencillo comprobar que $G$ con estas dos operaciones binarias, que es un anillo donde se $xy=yx$ si y sólo si $x=y$ o $x=0$ o $y=0$.