Dados dos conjuntos de datos de números reales positivos X e Y, ambos del mismo tamaño, y 0<=Y<=X para cada fila; ¿puede la FDA empírica de X cruzar alguna vez la FDA empírica de Y?
Respuestas
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AdamSane
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La CDF empírica, $\hat{F}(t)$ es la proporción de la muestra que está en o por debajo de $t$ .
Considere la posibilidad de ordenar sus filas aumentando $y$ (y a un valor fijo de $y$ , ordenando por incremento $x$ ).
Entonces, para cada una de esas filas (fila $i$ ), la altura de cada cdf es $i/n$ *, y la abscisa correspondiente a la muestra x está siempre a la derecha de la abscisa de la muestra y. Las funciones escalonadas pueden coincidir, pero la ecdf de la muestra x nunca estará por encima/izquierda de la ecdf de la muestra y.
En efecto, imaginemos que "dibujamos en el gráfico" todos los saltos verticales de la ecdf. Entonces, una línea horizontal trazada a través del gráfico en algún valor de $F$ golpeará los pasos de la ecdf en un valor determinado de $y$ y $x$ que aparece en nuestra tabla que enumera los valores de la muestra en orden (de hecho, para un valor dado de $F$ es fácil saber qué fila será $^\dagger$ ), que siempre tiene $y_i\leq x_i$ .
*(es un poco más complicado cuando hay valores duplicados, pero no de una manera que cambie el argumento sustancialmente)
$\dagger$ Para la línea horizontal gris del gráfico ( $F\approx 0.481$ ), golpea los saltos verticales de la ecdf en $t_y=194.4503$ y $t_x=200.0431$ que aparecen en la fila 73 de la tabla de datos cuando se ordenan como se ha indicado anteriormente.
Rob Allen
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La respuesta de Glen_b es correcta, pero creo que hay una forma aún más sencilla de demostrarlo.
El eCDF es un gráfico de ( $x$ proporción de valores iguales o inferiores a $x$ ). Empezamos por ordenar los valores en orden ascendente: los llamamos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ y $y_1, y_2, \ldots, y_n$ . Además, por su pregunta, sabemos que los dos vectores tienen la misma longitud y $y_i \ge x_i$ para cada índice $i$ .
Desde $y_1$ es mayor o igual que $x_1$ , $y_1$ debe estar situado en o a la derecha de $x_1$ y, como son los puntos más pequeños de la lista, ambos tienen una altura/coordenada Y de $\frac{1}{n}$ . Ambas curvas se mueven hacia arriba a la misma velocidad ( $\frac{1}{n}$ por paso) y a la derecha. Sin embargo, como $y_i > x_i$ El $Y$ curva se desplaza al menos tan a la derecha como la $X$ curva en cada paso.
Desde el $Y$ curva comenzada en o hacia la derecha de la $X$ y cada actualización subsiguiente empuja $Y$ al menos tan a la derecha como $X$ Las curvas nunca se cruzan.
Jonathan
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A 800x600 píxeles tienes un total de 480000 píxeles. Si se refrescara a 50 fps (eso es exagerado, pero a efectos ilustrativos), sin incluir los pórticos, tendría un reloj de píxeles de 24 MHz.
24MHz tiene una longitud de onda de unos 12,5m en el vacío.
Así que yo diría que puedes tener una variación medida del orden de metros en tu longitud de trazado.
Las trazas de impedancia/longitud adaptada sólo son realmente necesarias cuando se trabaja con señales en el rango de los gigahercios.
