Evaluar esta Expresión Trigonométrica

Question

Evaluar
$$ \sqrt[3]{\cos \frac{2\pi}{7}} + \sqrt[3]{\cos \frac{4\pi}{7}} + \sqrt[3]{\cos \frac{6\pi}{7}}$$

He encontrado el siguiente

• $\large{\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7}=-\dfrac{1}{2}}$

• $\large{\cos \frac{2\pi}{7}\times\cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7}\times\cos \frac{6\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7}\times\cos \frac{2\pi}{7}}=-\dfrac{1}{2}$

• $\large{\cos \frac{2\pi}{7}\times\cos \frac{4\pi}{7}\times\cos \frac{6\pi}{7}=\dfrac{1}{8}}$

Ahora, por Vieta de la Fórmula, $\large{\cos \frac{2\pi}{7}, \cos \frac{4\pi}{7} \: \text{&} \: \cos \frac{6\pi}{7}}$ son las raíces de la ecuación cúbica

$$8x^3+4x^2-4x-1=0$$

Y, el problema se reduce a encontrar la suma de las raíces cúbicas de las soluciones de esta cúbicos.

Por eso, pensé acerca de la transformación de esta ecuación a otra cuyos ceros son las raíces cúbicas de los ceros de esta cúbicos por hacer la sustitución

$$x\mapsto x^3$$

y obtener otra ecuación

$$8x^9+4x^6-4x^3-1=0$$

Sin embargo, esta nueva ecuación de tener algunas raíces demasiado y no podemos utilizar directamente Vieta para obtener la suma deseada.

Además, dado que la suma evalúa a un radical de la forma

$$\sqrt[3]{\frac{1}{d}(a-b\sqrt[b]{c})}$$

donde $a, b, c \: \text{&} \: d \in \mathbb Z$

Puede alguien por favor me ayude con esta pregunta?
Gracias!

Answer 1

deje $$x=\sqrt[3]{\cos{\dfrac{2\pi}{7}}},y=\sqrt[3]{\cos{\dfrac{4\pi}{7}}},z=\sqrt[3]{\cos{\dfrac{6\pi}{7}}},$$ entonces tenemos $$\begin{cases} x^3+y^3+z^3=-\dfrac{1}{2}\\ (xy)^3+(yz)^3+(xz)^3=-\dfrac{1}{2}\\ (xyz)^3=\dfrac{1}{8} \end{casos}$$ el uso de esta identidad $$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc$$ así $$\begin{cases} (x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+3xyz=-\dfrac{1}{2}\\ (xy+yz+xz)^3-3(xy+yz+xz)[xyz(x+y+z)]+3x^2y^2z^2=-\dfrac{1}{2}\\ xyz=\dfrac{1}{2} \end{casos}$$ deje $$u=x+y+z, v=xy+yz+xz$$ entonces tenemos $$\begin{cases} u^3-3uv+2=0\\ 4v^3-6uv+5=0 \end{casos}$$ así tenemos $$\Longrightarrow 4v^3-2u^3+1=0, v=\dfrac{u^3+2}{3u}$$ así $$4\left(\dfrac{u^3+2}{3u}\right)^3-2u^3+1=0\Longrightarrow 4u^9-30u^6+75u^3+32=0$$ deje $t=u^3$,por lo que tenemos $$4t^3-30t^2+75t+32=0$$ deje $t=\dfrac{5}{2}-a$,luego $$4\left(\dfrac{5}{2}-a\right)^3-30\left(\dfrac{5}{2}-a\right)^2+75\left(\dfrac{5}{2}-a\right)+32=0$$ $$\Longrightarrow 4a^3=\dfrac{189}{2}\Longrightarrow a=\dfrac{3\sqrt[3]{7}}{2}$$ así $$u=x+y+z=\sqrt[3]{\cos{\dfrac{2\pi}{7}}}+\sqrt[3]{\cos{\dfrac{4\pi}{7}}}+\sqrt[3]{\cos{\dfrac{6\pi}{7}}}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}\left(5-3\sqrt[3]{7}\right)}$$

Answer 2

Trate de usar este: $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ Deje $a^3= \cos{\frac{2\pi}{7}},b^3= \cos{\frac{4\pi}{7}},c^3= \cos{\frac{6\pi}{7}} $.