Número de enteros no divisible por $p$ $q$

Question

He aquí una parte de la pregunta de Siklos' "Avanzada de Problemas en el Núcleo de las Matemáticas":

Cuántos números enteros mayores o iguales que cero y menor que 1000 no son divisibles por 2 o 5? ¿Cuál es el valor promedio de estos enteros?

La solución está incluido en el folleto (Pregunta 11.), y que vale la pena echar un vistazo a antes de intentar mi pregunta que se plantea por Siklos al final de su solución a la mencionada pregunta, sino que se deja para el lector a la figura.

La pregunta es acerca de lo que el resultado general es, es decir:

Cuántos números enteros mayores o iguales que cero y menor que $(pq)^3$ no son divisibles por $p$ o $q$? ¿Cuál es el valor promedio de estos enteros?

Eché un vistazo a un par de casos, y algunos patrones que emergen, pero no he tenido suerte, formando una conjetura general.

Añadido: en la primera parte de la pregunta ha sido respondida por Zev Chonoles, pensé voy a actualizar a la pregunta con un patrón interesante que surge cuando se trata de la segunda parte, es decir, encontrar el valor promedio de los números enteros.

En primer lugar, tenga en cuenta que el número de enteros se convierte en una progresión aritmética si pensamos en los bloques de $pq$ números. Así, por $p=2$ $q=5$ el número de enteros no divisible por 2 o 5 es $4,8,12,16,\ldots$ para los números enteros mayores o iguales que cero y menor que $10,20,30,40,\ldots$.

Entonces, si tenemos en cuenta los números enteros en cada bloque, nos damos cuenta de que pueden vincularse a dar la misma suma, igual al tamaño del bloque (un múltiplo de $pq$). Tomando de nuevo $p=2$ $q=5$ como un ejemplo, dado $S_x=\{0,1,\ldots,x-1\}$:

$$\{n\in S_{20}: 2\nmid n\text{ or }5\nmid n\}=\{\color{red}{1},\color{green}{3},\color{blue}{7},\color{orange}{9},\color{orange}{11},\color{blue}{13},\color{green}{17},\color{red}{19}\}$$

Ahora me pregunto, ¿cómo podemos explicar este patrón y cómo podemos utilizarlo para responder a la segunda parte de la pregunta?

Answer 1

Sólo para agregar a Zev Chonoles la respuesta, si $p$ $q$ tienen un mayor factor común de $h$, entonces el cálculo se convierte en

$$p^3q^3-\frac{p^3q^3}{p}-\frac{p^3q^3}{q}+\frac{\frac{p^3q^3}{h}}{\frac{p}{h}\times \frac{q}{h}} = p^2 q^2 (pq-p-q+h)$$

Answer 2

He aquí una respuesta a su primera pregunta (supongo $p$ $q$ son números primos, a pesar de que el siguiente argumento funciona igual de bien para cualquier relativamente primer enteros $p$$q$): vamos a $S=\{0,1,\ldots,(pq)^3-1\}$. Luego por la inclusión-exclusión en el principio,

$$\#\{n\in S: p\nmid n\text{ and }q\nmid n\}=$$ $$\#S\;\;-\;\;\#\{n\in S: p\mid n\}\;\;-\;\;\#\{n\in S: q\mid n\}\;\; + \;\;\#\{n\in S: p\mid n\text{ and }q\mid n\}$$

que es justo $$p^3q^3-p^2q^3-p^3q^2+p^2q^2=p^2q^2(pq-q-p+1)=p^2q^2(p-1)(q-1).$$

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TonyK ha respondido a la segunda pregunta (asegúrese de votar su respuesta demasiado!):

Escribir los números de 1 (no 0!) a $(pq)^3 - 1$ que no son divisibles por $p$ o $q$. Ahora, escriba la misma secuencia hacia atrás y debajo de la primera. Cada columna se suma a $(pq)^3$, debido a $n$ es divisible por $p$ o $q$ si y sólo si $(pq)^3 - n$ es. Por lo que el valor promedio es $(pq)^3/2$.

Answer 3

Escribir los números de 1 (no 0!) a $(pq)^3 - 1$ que no son divisibles por $p$ o $q$. Ahora, escriba la misma secuencia hacia atrás y debajo de la primera. Cada columna se suma a $(pq)^3$, debido a $n$ es divisible por $p$ o $q$ si y sólo si $(pq)^3 - n$ es. Por lo que el valor promedio es $(pq)^3/2$.