Axioma de elección: usar o no usar

Question

Me preguntaba si hay ejemplos de resultados en matemáticas que se demostraron primero usando el axioma de elección y más tarde alguien encontró una demostración del resultado sin usar el axioma de elección.

Answer 1

Cantor-Schroder-Bernstein teorema era primero probó por Cantor utilizando el axioma de elección. Las pruebas sin utilizarlo vinieron después.

Answer 2

La cuestión se complica por el hecho de que muchos (¿la mayoría?) de los "matemáticos de la corriente principal" no llevan realmente la cuenta de si están utilizando alguna forma de CA en sus argumentos. Además, a menudo no escriben sus pruebas de manera que quede claro si están utilizando CA o si este uso de CA es realmente necesario.

He aquí un ejemplo de mi propia experiencia.

Teorema (Luther Claborn): Para todo grupo abeliano $A$ existe un dominio Dedekind $R$ tal que el grupo de clase ideal de $R$ es isomorfo a $A$ .

Conozco tres pruebas de este teorema.

1) La prueba original de Claborn de 1966:

http://math.uga.edu/~pete/claborn66.pdf

2) La prueba de C. Leedham-Green de 1972:

http://math.uga.edu/~pete/leedhamgreen.pdf

3) Mi prueba de 2008:

http://math.uga.edu/~pete/ellipticded.pdf

De ellas, la única que conozco realmente es la mía. Mi prueba utiliza la inducción transfinita. Para ser sincero, me hizo mucha gracia: era quizá la cuarta vez en mi vida que escribía un argumento de inducción transfinita y la primera vez que lo hacía con un propósito serio.

De todos modos, pronto me enteré de que el eminente matemático Bjorn Poonen (entonces en Berkeley) había estado pensando en este mismo resultado porque un estudiante de Eisenbud había dado recientemente una charla en un seminario sobre la prueba de Leedham-Green (que yo describiría como "inteligente y complicada"). La prueba que yo había dado era mucho más apropiada para él, e inmediatamente encontró una manera de refundirla y mejorarla. Entre otras cosas, su refundición evitaba por completo el uso del axioma de elección. (Pero me apresuro a añadir que había algo más que eso).

Especulamos brevemente sobre la posibilidad de que este argumento modificado fuera el primero prueba del teorema de Claborn para evitar el AC. Le pregunté si la prueba de Leedham-Green utilizaba AC y me dijo que, efectivamente, también era un argumento de inducción transfinita. Entonces volví a mirar el artículo de Claborn y le pregunté a mi alumno sobre él. Pudimos señalar alguna parte del argumento de Claborn (que, si miras el artículo, verás que es bastante escueto: Ojalá el artículo tuviera más de cuatro páginas) que pensamos que utilizaba AC. Pero no recuerdo cuál era, y sólo estoy medianamente seguro de que teníamos razón: si me dijeras lo contrario, no me sorprendería demasiado.

Y ahora debo decirles que no incluí en mi artículo ninguna pista de que la modificación de Poonen daría una prueba sin AC (¡y posiblemente la primera prueba de este tipo!) del teorema de Claborn. Me pareció que el argumento de Poonen era tan bonito que merecía una exploración más profunda por derecho propio: quería utilizarlo -y todavía lo hago- para dar una caracterización de todos los grupos abelianos que pueden ser el grupo de puntos racionales en alguna curva elíptica sobre algún campo. Así que, en esencia, me he guardado el hecho de que este teorema de Claborn (que mucha gente conoce) puede demostrarse independientemente de AC. Lo siento.

Answer 3

Este artículo es una especie de ejemplo en el que Doyle y Conway demuestran sin usar AC que para dos conjuntos cualesquiera $A,B$ tal que existe una biyección entre los conjuntos $3\times A$ y $3\times B$ , donde $3=\{0,1,2\}$ existe una biyección entre $A$ y $B$ . http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/three/three.pdf

Esto debería ser relativamente fácil de demostrar utilizando el principio de ordenación de pozos, que es equivalente al axioma de elección.

Answer 4

Si $G$ es un grupo abeliano localmente compacto, entonces existe una medida única $\mu$ en los conjuntos de Borel de $G$ tal que:

1. $\mu(G)=1$ ,
2. Para cada medida $A$ y $x\in G$ : $\mu(A)=\mu(A+x)$ ,

Podemos ampliar ligeramente los conjuntos de Borel para incluir todos los subconjuntos de conjuntos de medida cero, y así tener un completa medida.

Esta medida se denomina Medida de Haar . En el caso de $\mathbb R$ esto es exactamente la medida de Lebesgue.

Haar (el matemático) demostró su existencia en grupos compactos separables en 1933, y von Neumann demostró la unicidad poco después.

El caso general para grupos abelianos localmente compactos fue demostrado por Weil y se basó en el axioma de elección. Posteriormente, Henri Cartan demostró tanto la existencia como la unicidad del caso general sin el axioma de elección.

Answer 5

Las cosas cierran el círculo: Pruebas constructivas del teorema de la base de Hilbert.

Haz clic con toda tu justicia .