Demostrar la siguiente propiedad de $f(x)$?

Question

Deje $$f(x)=|a_1\sin(x)+a_2\sin(2x)+a_3\sin(3x)+...+a_n\sin(nx)|.$$

Dado que el $f(x)$ es menor o igual a $|\sin(x)|$ todos los $x$, demuestran que, a $|a_1+a_2+a_3+....|$ es menor o igual a 1.Por favor, mantenga esto en un cálculo AB nivel, ya que es donde tengo el problema. Gracias!

Answer 1

II creen que bajo los mismos supuestos de la siguiente resultado puede ser demostrado, que es, $|a_1+2a_2+\ldots+na_n|\leq 1$.

Necesitaremos el siguiente resultado (que creo que puede ser probado utilizando el Cálculo AB): Para cada $k\in\mathbb{N}$, $\dfrac{\sin(kx)}{\sin(x)}$ se puede extender a una función continua. La prueba va como esto:

Observar que $\dfrac{\sin(k(x+2\pi))}{\sin(x+2\pi)}=\dfrac{\sin(kx)}{\sin(x)}$. Observe que esta función es continua excepto, posiblemente, donde $\sin(x)=0$. Debido a la observación anterior, sólo necesitamos que preocuparse de lo que sucede en el $x=0$. Pero en este caso el siguiente límite existe: $$ \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(kx)}{\sin(x)}=k $$ este límite sigue usando el bien conocido resultado: $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$.

Ya que tenemos que $|a_1\sin(x)+a_2\sin(2x)+\ldots+a_n\sin(nx)|\leq |\sin(x)|$ todos los $x$ tenemos que $$ |\sin(x)||a_1+a_2\dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)}+\ldots+a_n\dfrac{\sin(nx)}{\sin(x)}|\leq|\sin(x)| $$ para todos los $x$. Restando $|\sin(x)|$ desde ambos lados, se obtiene la siguiente desigualdad para todos los $x$: $$ |\sin(x)|(|a_1+a_2\dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)}+\ldots+a_n\dfrac{\sin(nx)}{\sin(x)}|-1)\leq 0 $$ lo que implica que: $$ |a_1+a_2\dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)}+\ldots+a_n\dfrac{\sin(nx)}{\sin(x)}|\leq 1 $$ para todos los $x\neq 2\pi m$. Tomando $\lim_{x\to 0}$ en ambos lados obtenemos: $$ |a_1+2a_2+\ldots+na_n|\leq 1 $$ Ahora bien, si tomamos la desigualdad:

$$ |\sin(x)||a_1+a_2\dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)}+\ldots+a_n\dfrac{\sin(nx)}{\sin(x)}|\leq|\sin(x)| $$ y dividir por $x\neq 0$ ambos lados y tomar la $\lim_{x\to 0}$ obtenemos: $$ |a_1+2a_2+\ldots+na_n|\leq 1 $$

Answer 2

Supongamos que el $a_i$ son todos no negativos. Bajo esta restricción:

Deje $x$ ser pequeño y positivo. Utilizando el ángulo de suma fórmula para el seno, obtenemos $\sin(mx)=(\sin x)(\cos(m-1)x) + (\sin(m-1)x)(\cos x) \ge (\sin x)(\cos(m-1)x)$. Por lo tanto, tenemos $|\sin(x)|\ge f(x)\ge |\sin(x)| |a_1+a_2\cos(x)+a_3\cos(3x)+\cdots+a_n\cos((n-1)x)|$. División obtenemos $1\ge |a_1+a_2\cos(x)+a_3\cos(3x)+\cdots+a_n\cos((n-1)x)|$ todos $x$, lo que implica el resultado deseado por la continuidad.