Altura de un tetraedro

Question

¿Cómo puedo calcular la altura de un tetraedro regular que tiene una longitud de lado $1$ ?

Para que quede claro, por altura me refiero a que si colocas la forma sobre una mesa, ¿a qué altura estaría el punto más alto de la mesa?

Answer 1

Lo primero que hay que hacer es observar que el vértice de un tetraedro regular se encuentra directamente sobre el centro de la cara triangular inferior. Por lo tanto, encuentra la longitud del segmento que une el centro de un triángulo equilátero de longitud unitaria con una esquina, y utiliza el teorema de Pitágoras con la longitud de una arista como hipotenusa, y la longitud que dedujiste anteriormente como un cateto. La altura que necesitas es el otro cateto del triángulo rectángulo implícito.

---

Aquí hay una vista de la geometría:

y aquí hay una vista de la cara inferior:

En el segundo diagrama, la cara se indica con líneas discontinuas, y el triángulo (isósceles) formado por el centro del triángulo y dos de las esquinas se indica con líneas sólidas.

Sabiendo que los lados cortos del triángulo isósceles bisecan los ángulos de 60° del triángulo equilátero, encontramos que los ángulos del triángulo isósceles son 30°, 30° y 120°.

Utilizando la ley de los cosenos y el conocimiento de que el lado más largo del triángulo isósceles tiene longitud unitaria, tenemos la ecuación de la longitud $\ell$ del lado corto (la longitud desde el centro de la cara inferior hasta el vértice más cercano):

$$1=2\ell^2-2\ell^2\cos 120^{\circ}$$

Resolver para $\ell$ encontramos que la longitud desde el centro de la cara inferior hasta el vértice más cercano es $\frac{1}{\sqrt{3}}$ , como se indica aquí .

A partir de esto, el teorema de Pitágoras dice que la altura $h$ (la longitud desde el centro de la cara inferior) satisface

$$h^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=1$$

Resolver para $h$ en la ecuación anterior, ahora encontramos que la altura es $\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ , como se ha mencionado aquí .

Answer 2

Consideremos el tetraedro inscrito en el cubo unitario, con vértices en (0,0,0), (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1). Su altura es la distancia de (0,0,0) al centro de la cara opuesta, que viene dada por la ecuación $x+y+z = 2$ . Por lo tanto, su altura es $\frac{2}{\sqrt 3}$ y como las aristas de este tetraedro tienen longitud $\sqrt 2$ la altura de un tetraedro regular de lado $x$ es $x \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Answer 3

También puedes utilizar la trigonometría basada en el ángulo diedro entre dos caras del tetraedro.

Escribir $ABC$ para el triángulo base, $O$ para el vértice, $K$ para el centro de $ABC$ (el pie de la perpendicular bajó de $O$ ), y $M$ para el punto medio de (por ejemplo) el lado $BC$ tenemos un triángulo rectángulo $OKM$ con ángulo recto en $K$ . Así que,

$$\text{height of tetrahedron} = |OK| = |OM|\sin{M}$$

$OM$ es la altura de la cara (equilátera) $OBC$ , midiendo $\frac{\sqrt{3}}{2}s$ , donde $s$ es la longitud de un lado.

En cuanto a la medida del ángulo $M$ ... Tenga en cuenta que este es el ángulo diedro entre las caras $OBC$ y $ABC$ es también el ángulo entre segmentos (congruentes) $OM$ y $AM$ en triángulo $OMA$ . Podemos utilizar la ley de los cosenos de la siguiente manera:

$$\begin{eqnarray} |OA|^2 &=& |OM|^2 + |AM|^2 - 2 |OM||AM|\cos{M} \\ s^2 &=& \left(\frac{\sqrt{3}}{2}s\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}s\right)^2 - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}s\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}s\right) \cos{M} \\ s^2 &=& \frac{3}{4} s^2 + \frac{3}{4}s^2 - 2 \frac{3}{4} s^2 \cos{M} \\ 1 &=& \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos{M} \\ \frac{-1}{2} &=& - \frac{3}{2} \cos{M} \\ \frac{1}{3} &=& \cos{M} \;\;\; (**)\\ \Rightarrow \sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{8}}{3} =\frac{2\sqrt{2}}{3}&=& \sin{M} \end{eqnarray}$$

Por lo tanto,

$$\text{height of tetrahedron} = |OK| = |OM|\sin{M} = \frac{\sqrt{3}}{2} s \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}s$$

(**) Este coseno es la razón por la que publiqué este enfoque. A veces es útil conocerlo (como en este problema); mejor aún, es fácil de recordar, porque resulta que se ajusta a un patrón simple (que puede ser más probable que impresione a los entrevistadores):

$$\begin{eqnarray} \cos\left({\text{angle between two sides of a regular triangle}}\right) &=& \frac{1}{2}\\ \cos\left({\text{angle between two faces of a regular tetrahedron}}\right) &=& \frac{1}{3}\\ \cos\left({\text{angle between two facets of a regular n-simplex}}\right) &=& \frac{1}{n} \end{eqnarray}$$

(¿Quién hubiera sospechado, al encontrarlo por primera vez, que el " $2$ " en " $\cos{60^{\circ}}=\frac{1}{2}$ " era en realidad una referencia a la dimensión del triángulo).

Answer 4

La altura normal ( $H_{n}$ ) de cualquier tetraedro regular que tenga una longitud de arista $a$ es igual a la suma de los radios de sus esferas inscritas y circunscritas que se da como $$H_{n}=\frac{a}{2\sqrt{6}}+\frac{a}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{4a}{2\sqrt{6}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}$$ Por lo tanto, la altura normal ( $H_{n}$ ) del tetraedro regular con longitud de arista $a$ se generaliza mediante la fórmula $$\bbox[4pt, border: 1px solid blue;] {H_{n}=a\sqrt{\frac{2}{3}}}$$ Según el valor dado de la longitud del borde $a=1$ en la pregunta, la altura normal del tetraedro es $\sqrt{\frac{2}{3}}$

Nota: para la derivación y la explicación detallada, consulte Fórmula de HCR para n poliedros regulares

Answer 5

Me gustaría ofrecer un enfoque algo más sencillo a parte de la 1ª respuesta anterior. Sabemos que el triángulo equilátero de la base del tetraedro tiene lados de 1, 1 y 1, y sabemos que podemos dividirlo por la mitad, creando dos triángulos rectángulos que tienen lados de hipotenusa=1, base=1/2 y perpendicular=√3/2, junto con ángulos de 30, 60 y 90 grados.

Considera ahora el segundo diagrama de la primera respuesta, que muestra un triángulo de línea continua con ángulos de 30, 30 y 120 grados. Ese triángulo podría dividirse por la mitad, creando dos triángulos rectángulos con ángulos de 30, 60 y 90 grados. Si consideramos que la base de cada triángulo es su lado más corto, entonces la perpendicular de cualquiera de esos triángulos tiene una longitud de 1/2. Ahora podemos utilizar la potencia de los cocientes para calcular los otros dos lados:

(1/2):(√3/2):(1) --triángulo 1: mitad de cara tetraédrica, ángulos de 30, 60 y 90 grados.

( ):( 1/2):( ) --triángulo 2: tiene base e hipotenusa desconocidas, pero es proporcional al triángulo 1.

En realidad, sólo necesitamos calcular la hipotenusa del triángulo 2, porque es la distancia deseada desde la esquina hasta el centro de la base del tetraedro:

Multiplica la hipotenusa del triángulo 1 por la perpendicular del triángulo 2; divide por la perpendicular del triángulo 1.

[(1/2)(1)]/(√3/2) = (1/2)(2/√3) = 1/√3, ya que la 1ª respuesta también calcula de forma más complicada.

En aras de la exhaustividad, dado que en cualquier triángulo de 30-60-90 grados la base es simplemente la mitad de la longitud de la hipotenusa, la segunda incógnita es 1/(2√3) o √3/6 (aunque también se podría haber calculado utilizando cocientes, como en el caso anterior). Se invita al lector a comprobar que el cuadrado de (√3/6) más el cuadrado de 1/2 es igual al cuadrado de (1/√3).