Me puede ayudar a encontrar $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n-1)^3}$?
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user21783
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Para calcular esta serie vamos a volver a escribir por primera vez como una polygamma función: \begin{align} \tag{1}S&=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{(4k+3)^3}\\ S&=\frac 1{4^3}\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left(k+\frac 34\right)^3}\\ \tag{2}S&=-\frac 1{2!\,4^3}\psi^{(2)}\left(\frac 34\right)\\ \end{align} Desde entonces (desde el enlace anterior) $$\tag{3} \psi^{(2)}(z)=-2!\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left(k+z\right)^3}$$
Calcular la segunda derivada del logaritmo derivados de Euler reflexión fórmula para $\Gamma$ obtenemos (desde $\psi(z):=(\ln\,\Gamma(z))'\,$$\,(\ln\,\sin(\pi z))'=\pi\,\cot(\pi\,z)$ ) después de la reflexión de la relación: $$\tag{4}\psi^{(2)}(1-z)-\psi^{(2)}(z)=\pi\frac {d^2}{dz^2} \cot(\pi\,z)$$ que es para $z=\frac 14$ : $$\tag{5}\psi^{(2)}\left(\frac 34\right)-\psi^{(2)}\left(\frac 14\right)=\lim_{z\to 1/4}\left[2\pi^3\cot(\pi\,z)(\cot(\pi\,z)^2+1)\right]=4\,\pi^3$$
Pero de $(3)$ tenemos : \begin{align} \tag{6}\psi^{(2)}(z)+\psi^{(2)}\left(z+\frac 12\right)&=-2\left[\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left(k+z\right)^3}+\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left(k+z+1/2\right)^3}\right]\\ \psi^{(2)}\left(\frac 14\right)+\psi^{(2)}\left(\frac 34\right)&=-2\left[\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left(k+1/4\right)^3}+\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left(k+3/4\right)^3}\right]\\ &=-2\cdot 4^3\left[\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left(4k+1\right)^3}+\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left(4k+3\right)^3}\right]\\ &=-2\cdot 4^3\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left(2n-1\right)^3}\\ &=-2\cdot 4^3\left[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\left(2n-1\right)^3}+\frac{1}{\left(2n\right)^3}\right)-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2n\right)^3}\right]\\ &=-2\cdot 4^3\left[\zeta(3)-\frac {\zeta(3)}8\right]\\ \tag{7}&=-2\cdot 4^3\frac 78\zeta(3)\\ \end{align} La adición de $(5)$ $(7)$ obtenemos $\,2\,\psi^{(2)}\left(\frac 34\right)\,$ a la izquierda, por lo que el $(2)$ se convierte en : $$S=-\frac 1{4\cdot 4^3}\cdot 2\,\psi^{(2)}\left(\frac 34\right)=-\frac 4{4\cdot 4^3}\pi^3+\frac{2\cdot 4^3}{4\cdot 4^3}\frac 78\zeta(3)$$ o simplemente $$\tag{8}\boxed{\displaystyle S=\frac 7{16}\zeta(3)-\frac{\pi^3}{64}}$$
Para un análisis más general de la prueba ver Kölbig $1996$ papel "El polygamma función de $\psi^{(k)}(x)$$x=\frac 14$$x=\frac 34$".
Para otros argumentos racionales ver "El polygamma función y los derivados de la función cotangente de argumentos racionales".
Aquí es un enfoque diferente. Deje $\chi: (\mathbb Z/4\mathbb Z)^\times \to \{\pm 1\}$ ser el carácter de Dirichlet $a \mapsto (-1)^{a-1/2}$.
El $L$-función de $L(\chi, s) = \sum_{n\geq 1} \chi(n) n^{-s}$ satisface la ecuación funcional
$$\Lambda(\chi, s) = \Lambda(\chi, 1-s)$$
donde $$\Lambda(\chi, s) = (4/\pi)^{s/2} \Gamma\left(\frac{1+s}{2}\right) L(\chi, s).$$
Para $n\geq 1$, tenemos
$$L(\chi, 1-n) = - \frac{B_{n, \chi}}{n}$$
donde $${B_{n, \chi}} = {4^{n-1}}(B_n(1/4)-B_n(3/4)),$$
$B_n(X)$ el polinomio de Bernoulli. Desde $B_3(X) = X^3 - \frac32 x^2 + \frac12 x,$ nos encontramos con que
$$L(\chi, -2) = -1/2.$$
Desde $\Gamma(-1/2)= - 2 \sqrt \pi$, nos encontramos con que
$$\Lambda(\chi, -2) = \frac{\pi^{3/2}}{4} = \Lambda(\chi, 3) = (4/\pi)^{3/2}L(\chi, 3)$$
por lo tanto
$$L(\chi, 3) = \frac{\pi^3}{32}.$$
Ahora es tu número
$$\frac{(1-2^{-3})\zeta(3)-L(\chi, 3)}{2} = \frac{7}{16}\zeta(3) - \frac{\pi^3}{64}.$$
