Edit: Como hay muchos comentarios y una respuesta ya que he dejado la pregunta original a continuación.
Yo era consciente de que hay diferentes maneras en que se podría tratar de definir la $\mathsf{hTop}_{\bullet}$', en la' homotopy categoría de punta espacios topológicos. Los dos que fueron discutidos en los comentarios fueron:
- la categoría con punta espacios topológicos como objetos y morfismos dado por la base-punto de preservar homotopy clases de mapas (es decir,$\operatorname{Hom}(X, Y) = [X, Y]_{\bullet}$), y
- la categoría de $\mathsf{Top}_{\bullet}$ localizada en débil homotopy equivalencias.
Si no me equivoco, Zhen Lin estaba refiriendo a la primera, mientras que Najib Idrissi se estaba refiriendo a la segunda. Cuando hice la pregunta, estaba pensando en la primera categoría por lo que las siguientes preguntas siguen sin respuesta.
Con esto en mente, ahora estoy un poco preocupado acerca de la diferencia entre homotopy equivalente de base y de punto de preservar homotopy equivalente. Por ejemplo, el peine espacio de $C$ es homotopy equivalente a un punto (es decir, contráctiles), sino $(0, 1)$ no es una fuerte deformación de retractarse de $C$, lo $(C, (0, 1))$ no es la base del punto de preservar homotopy equivalente a un punto. No estoy seguro de si esta distinción va a jugar un papel en la respuesta a la pregunta ¿$1$.
A lo largo de, $(X, x_0)$ $(Y, y_0)$ será conectado señaló espacios topológicos.
Si $f : (X, x_0) \to (Y, y_0)$ es un mapa continuo y $f_* : \pi_n(X, x_0) \to \pi_n(Y, y_0)$ es un isomorfismo para$n > 0$, $f$ se llama una débil homotopy de equivalencia. El Teorema de Whitehead dice que si $X$ $Y$ CW complejos, luego de un débil homotopy equivalencia es de hecho un homotopy de equivalencia.
Nota, la existencia de un mapa de $f$, lo que induce isomorphisms de homotopy grupos es necesario, ya que hay CW complejos que han isomorfo homotopy grupos, pero no son homotopy equivalente; por ejemplo, $S^2\times\mathbb{RP}^3$ $\mathbb{RP}^2\times S^3$ (tienen distintos segunda integral de homología).
El $n^{\text{th}}$ homotopy grupo de un espacio de $X$ puede ser definido como:$[S^n, X]_{\bullet}$, lo que indica la punta de la homotopy clases de mapas de$S^n$$X$. Este es un grupo debido a que las esferas son cogroup objetos en la categoría de $\mathsf{hTop}_{\bullet}$. Hay otros cogroup objetos en esta categoría, incluyendo (pero no limitado a) las suspensiones de arbitraria de espacios topológicos.
Con esto en mente, mi primera pregunta es:
Pregunta $1$: Si $f : (X, x_0) \to (Y, y_0)$ es un mapa continuo tal que $f_* : [Z, X]_{\bullet} \to [Z, Y]_{\bullet}$ es un isomorfismo para cada cogroup objeto de $Z$$\mathsf{hTop}_{\bullet}$, se $X$ $Y$ homotopy equivalente?
Si la respuesta a la pregunta $1$ es sí, mi siguiente pregunta es
Pregunta $2\, (a)$: Si $[Z, X]_{\bullet} \cong [Z, Y]_{\bullet}$ por cada cogroup objeto de $Z$$\mathsf{hTop}_{\bullet}$, se $X$ $Y$ homotopy equivalente?
Si la respuesta a la pregunta $1$ es no, mi siguiente pregunta es
Pregunta $2\, (b)$: Vamos a $\mathcal{F}$ ser una colección de cogroup objetos en $\mathsf{hTop}_{\bullet}$. Para que $\mathcal{F}$ es la siguiente verdad: si $f : (X, x_0) \to (Y, y_0)$ induce isomorphisms $f_* : [Z, X]_{\bullet} \to [Z, Y]_{\bullet}$ todos los $Z \in \mathcal{F}$, $X$ $Y$ son débilmente homotopy equivalente.
Además, hay un número finito de tales $\mathcal{F}$? Hay un análogo del Teorema de Whitehead para todos los $\mathcal{F}$?
