Star conjunto convexo es simplemente conectado.

Question

Se define un conjunto $S \subset \Bbb{R}^n$ a ser estrellas convexa si existe $a \in S$, de tal manera que el segmento de línea que conecta $a$ y cualquier otro punto en $S$ se encuentra en su totalidad en $S$. Me gustaría mostrar que es simplemente conexa. Alguien puede verificar mi prueba?

El conjunto $S$ es sin duda la ruta conectado dado $x,y \in S$, podemos construir un camino de$x$$a$$a$%#%, y así adyacentes a los caminos de los rendimientos de un camino de$y$$x$. También se da cualquier bucle $y$, $p(r)$, tenemos una línea recta homotopy

$r \in [0, 1]$$

con $$H(r, t) = ta + (1-t)p(r)$$ H((r, 0) = p(r)$, lo$H(r, 1) = a$es homotópica a un punto, lo que significa$p$ es simplemente conectado.

Answer 1

Sí, su propuesta de prueba es correcta.