¿Pueden las clases de homología (singulares) estar siempre representadas por imágenes de variedades cerradas?

Question

Mi intuición me dice que si $A \in H_2(M;\mathbf Z)$ entonces $A$ puede representarse mediante un mapa $\Sigma \to M$ , donde $\Sigma$ es una superficie cerrada (= compacta sin límites), es decir, la suma conectada de toros o de planos proyectivos reales. Parece entonces que, en general, cualquier $B \in H_k(M;\mathbf Z)$ puede representarse mediante un mapa [cerrado $k$ -manifold] $\to M$ .

Probablemente se trate de algo realmente trivial, pero no estoy seguro de cómo proceder para demostrarlo "adecuadamente".

Un representante de una clase homológica en $H_k(M;\mathbf Z)$ es un $k$ -es decir, una combinación lineal formal ( $\mathbf Z$ coeficientes) de los mapas [ $k$ -simplemente] $\to M$ tal que la frontera está vacía. Así que esto puede ser visto como un mapa [unión disjunta de $k$ -simples] $\to M$ de tal manera que "los límites de los símiles se cotizan". Así, podemos factorizar este mapa en [unión disjunta de $k$ -simples] $\to$ [cerrado $k$ -manifold] $\to M$ donde el primer mapa se limita a pegar los límites de las simplices.

Todo esto me parece muy manoseado y no me convence mucho mi propio pseudo-argumento. Cualquier ayuda para hacer esto más riguroso (¡o señalar las falacias!) sería apreciada.

Answer 1

Este es un problema clásico en topología algebraica, el El problema de Steenrod que fue más o menos resuelto por Thom. Thom demostró que esto es cierto

• $\bmod 2$ ,
• racionalmente, y
• integralmente si $k \le 6$ .

Integramente para $k \ge 7$ hay contraejemplos; los obstáculos implican Operaciones de Steenrod para los primos Impares. (¡Es más difícil pegar un montón de símiles en un colector de lo que parece!) Véase esta pregunta del modus operandi y esta pregunta del modus operandi para más detalles, así como este resumen del trabajo de Thom por Sullivan.