Menos entero positivo $n$ de manera tal que la cadena de dígitos de $2^n$ termina en el dígito de la cadena de $n$

Question

¿Cuál es el menor entero positivo $n$ de manera tal que la cadena de dígitos de $2^n$ termina en el dígito de la cadena de $n$:
$$ (2^n)_{10} = d_m \, d_{m-1} \cdots d_{p+1} \, (n)_{10} \\ (n)_{10} = d'_{q} \cdots d_1' \\ d_i, d'_j \en \{0, \ldots, 9 \} $$

Como en $2^3$, sería de alguna manera terminan en 3, o $2^5$ a acabar en 5.

Francamente, yo no sé ni por dónde empezar. Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí es menos un método de fuerza bruta:

En el orden de la cadena de dígitos de $2^n$, para terminar con la cadena de dígitos de $n$, es necesario (pero no suficiente) $2^n$ $n$ tienen la misma último dígito, es decir,$2^n \equiv n \pmod{10}$.

Es fácil comprobar que $\begin{cases}2^n \equiv 2\pmod{10} & \text{if} \ n\equiv 1 \pmod{4} \\ 2^n \equiv 4\pmod{10} & \text{if} \ n\equiv 2 \pmod{4} \\ 2^n \equiv 8\pmod{10} & \text{if} \ n\equiv 3 \pmod{4} \\ 2^n \equiv 6\pmod{10} & \text{if} \ n\equiv 0 \pmod{4}\end{cases}$.

Desde $2^n$ es incluso, $n$ también debe ser par. Así tenemos los siguientes 2 posibilidades:

$n \equiv 2\pmod{4}$ $n \equiv 2^n \equiv 4\pmod{10}$ , Es decir, $n \equiv 14 \pmod{20}$

$n \equiv 0\pmod{4}$ $n \equiv 2^n \equiv 6\pmod{10}$ , Es decir,$n \equiv 16 \pmod{20}$.

Tan solo necesitamos comprobar $n \equiv 14 \ \text{or} \ 16 \pmod{20}$.

Desde $2^{14} = 16384$, $2^{16} = 65536$, $2^{34} = 17179869184$, y $2^{36} = 68719476736$, el menor entero positivo $n$ de manera tal que la cadena de dígitos de $2^n$ termina con la cadena de dígitos de $n$$n = 36$.

Answer 2

Acabo de empezar la comprobación de los números en una calculadora.

El primer $n$ me dieron ese $2^{n} = \dots n$$n = 36$. Tenemos $2^{36} = 68,719,476,736$.

Answer 3

He comprobado hasta el $n = 3 \cdot 10^5$ y las únicas soluciones son $36, 736, 8736, 48736$. También resulta que la $948736$, $2948736$, $32948736$ son soluciones, cada uno de los que he encontrado por anteponiendo $1 \dots 9$ a la solución anterior. Parece plausible la conjetura de que las soluciones son los sufijos de algunos hacia la izquierda-secuencia decimal infinita, es decir, $n$ es una solución si y sólo si $n = \text{reverse}(\lfloor 10^k \cdot r \rfloor)$ donde$k \ge 2$$r \approx 0.63784923$.

EDIT: Jesse P Francisco y Robert Israel encontró la OEIS secuencia y las condiciones que se enumeran no son consistentes con esa conjetura. Hay un enlace a otra secuencia con una simple fórmula recursiva que es el mismo excepto que contiene duplicados, al parecer, en las mismas posiciones donde $0$ se produce en los dígitos de $r$ definido anteriormente. Los dígitos de $r$ se dan por esta secuencia.