¿Qué significa la letra epsilon en matemáticas?

Question

Esta letra "$\varepsilon$" se llama épsilon ¿verdad? ¿Qué significa en matemáticas?

Answer 1

La letra griega epsilon, escrita como $\epsilon$ o $\varepsilon$, es simplemente otra variable, como $x$, $n$ o $T.

Convencionalmente se utiliza para denotar una cantidad pequeña, como un error, o tal vez un término que se llevará a cero en algún límite.

Es posible que la estés confundiendo con el símbolo de pertenencia al conjunto $\in$, que es algo diferente. Cuando ves $x\in X$ significa que $X$ es un conjunto y $x$ es un miembro del conjunto. Por ejemplo,

$$1\in \{1,2,3\}$$

es verdadero, pero

$$4\in\{1,2,3\}$$

es falso.

Answer 2

Cálculo epsilon de Hilbert usó la letra $\varepsilon$ para denotar un valor que satisface un predicado. Si $\phi(x)$ es alguna propiedad, entonces $\varepsilon x. \phi(x)$ es un término $t$ tal que $\phi(t)$ es verdadero, si dicho $t$ existe. Se pueden definir los cuantificadores existencial y universal usuales $\exists$ y $\forall$ en términos del cuantificador $\varepsilon$:

$$\begin{eqnarray} \def\hil#1{#1(\varepsilon x. #1(x))} \exists x.\phi(x) & \equiv & \hil{\phi}\\ \forall x.\phi(x) & \equiv & \phi(\varepsilon x.\lnot\phi(x)) \end{eqnarray} $$

Answer 3

Aquí hay una instancia no muy conocida del uso de $\varepsilon$ en matemáticas:

Una transformación algo conocida para acelerar la convergencia de una secuencia es la transformación de Shanks (llamada así en honor a Daniel Shanks, quien probablemente es más conocido por sus contribuciones en teoría de números). Lo que hace la transformación de Shanks, asumiendo que la secuencia dada es una secuencia de polinomios de Taylor evaluados en un cierto argumento, es transformar esta secuencia de aproximaciones de Taylor en una secuencia de aproximaciones racionales de Padé.

La transformación de Shanks de una secuencia puede expresarse como una razón de dos determinantes, pero existe una realización más eficiente de esto, el algoritmo $\varepsilon$ de Wynn:

$$\varepsilon_{k+1}^{(n)}=\varepsilon_{k-1}^{(n+1)}+\frac1{\varepsilon_{k}^{(n+1)}-\varepsilon_k^{(n)}}$$

donde $\varepsilon_0^{(n)}=S_n$ es la secuencia a ser transformada.