Base formal para la sustitución de variables en los límites

Question

Así que hacemos un montón de sustituciones variables en los límites de la escuela. Cosas como $ \lim\limits_ {x \to5 }\ (x+1)^2\ =\ \lim\limits_ {y \to6 }\ y^2$ donde definimos la sustitución $y = x + 1$ .

Pero nunca he tenido claro cuál es exactamente la base teórica de esto. ¿Cuál es la fórmula que realmente estás aplicando cuando haces la sustitución de variables? ¿Cuáles son las condiciones formales en las que es posible?

Mi conjetura sería la siguiente:

Para todos los continuos $f$ y todo lo real $a$ :
$ \lim\limits_ {x \to a}\ (f \circ g)(x)\ = \lim\limits_ {x \to g(a)}\ f(x)$ donde $g$ es una función continua

Así que para tomar mi primer ejemplo, $f$ sería $x^2$ , $g$ sería $x + 1$ y $a$ sería $5$ .

¿Estoy en el área correcta? Si esto es correcto, ¿se puede probar usando $ \epsilon $ - $ \delta $ ? La otra noche tuve una oportunidad a medias y no llegué a ninguna parte.

Answer 1

La respuesta de @ChristianBlatter no es del todo correcta. $f$ no tiene por qué ser continua.

Ahora mostramos la proposición reforzada:

Dejemos que $f:A \to C$ , $g: B \to C$ y $\varphi: B \to A$ ser tres funciones. Si $\lim_{x \to a}f(x) = L$ , $\lim_{x \to b}\varphi(x) = a$ y $g(x) = f(\varphi(x))$ entonces $g$ tiene el límite $L$ como $x$ se acerca a $b$ .

Prueba. Desde entonces $g(x) = f(\varphi(x))$ , $|g(x) - L| < \varepsilon \equiv |f(\varphi(x)) - L| < \varepsilon$ . Para cada $\varepsilon>0$ podemos encontrar $\delta>0$ tal que $|\varphi(x)-a|<\delta \Longrightarrow |f(\varphi(x)) - L| < \varepsilon$ , como $f$ tiene un límite. Además, para este $\delta$ siempre podemos encontrar $\delta'$ tal que $|x-b|<\delta' \Longrightarrow |\varphi(x)-a|<\delta$ porque $\varphi$ también tiene un límite.

Entonces, para cada $\varepsilon >0$ podemos encontrar $\delta'>0$ tal que $$|x-b|<\delta' \Longrightarrow |g(x) -L|<\varepsilon$$ , según se desee.

Tenga en cuenta que esto es esencialmente decir que $\lim_{x \to b}f(\varphi(x))=L$ ya que $g=f\circ \varphi$ .