Base formal para la sustitución de variables en los límites

Question

Así que hacemos un montón de sustituciones variables en los límites de la escuela. Cosas como $ \lim\limits_ {x \to5 }\ (x+1)^2\ =\ \lim\limits_ {y \to6 }\ y^2$ donde definimos la sustitución $y = x + 1$ .

Pero nunca he tenido claro cuál es exactamente la base teórica de esto. ¿Cuál es la fórmula que realmente estás aplicando cuando haces la sustitución de variables? ¿Cuáles son las condiciones formales en las que es posible?

Mi conjetura sería la siguiente:

Para todos los continuos $f$ y todo lo real $a$ :
$ \lim\limits_ {x \to a}\ (f \circ g)(x)\ = \lim\limits_ {x \to g(a)}\ f(x)$ donde $g$ es una función continua

Así que para tomar mi primer ejemplo, $f$ sería $x^2$ , $g$ sería $x + 1$ y $a$ sería $5$ .

¿Estoy en el área correcta? Si esto es correcto, ¿se puede probar usando $ \epsilon $ - $ \delta $ ? La otra noche tuve una oportunidad a medias y no llegué a ninguna parte.

Answer 1

La historia completa es la siguiente:

Si las funciones $g:\ A\to B$ y $f:\ B\to C$ tienen límites $$\lim_{x\to\xi}g(x)=:\eta\ ,\qquad \lim_{y\to\eta}f(y)=:\zeta\ ,$$ y si $f$ es continua en $\eta$ por si acaso $\eta$ se produce como valor de $g$ entonces $$\lim_{x\to\xi}f\bigl(g(x)\bigr)=\lim_{y\to\eta} f(y)\ .$$

Esto también es válido si alguno de $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ es $\ =\infty$ .

La condición extra "y si $f$ es continua $\ldots$ " se suele cumplir, pero no se puede prescindir de él: Consideremos el ejemplo $g(x):\equiv 1$ y $f(y):=2$ $\ (y=1)$ , $\ f(y):=3$ $\ (y\ne1)$ . Entonces $\lim_{x\to1}f\bigl(g(x)\bigr)=2$ pero $\lim_{x\to1}g(x)=1$ , $\ \lim_{y\to1}f(y)=3$ .

Answer 2

Sí, esa es esencialmente la idea.

Pero esto se deduce de la definición de continuidad: basta con demostrar que si $f$ es continua en $g(a)$ y $g$ es continua en $a$ entonces $f\circ g$ es continua en $a$ . Porque entonces ambas partes evalúan a $f(g(a))$ por definición de continuidad (que requiere que el límite exista y sea igual a la evaluación de la función en el punto.

Para demostrar que si $g$ es continua en $a$ y $f$ es continua en $g(a)$ entonces $f\circ g$ es continua en $a$ En primer lugar, hay que tener en cuenta que $f\circ g$ se define en $a$ . Ahora, dejemos que $\epsilon\gt0$ . entonces sabemos que existe $\delta_1\gt 0$ de manera que si $|y-g(a)|\lt\delta_1$ entonces $|f(y)-f(g(a))|\lt\epsilon$ esto se mantiene, porque $f$ es continua en $g(a)$ .

Ahora bien, como $g$ es continua en $a$ y $\delta_1\gt 0$ Esto significa que existe $\delta\gt 0$ de manera que si $|x-a|\lt\delta$ entonces $|g(x)-g(a)|\lt\delta_1$ .

Así, si $|x-a|\lt\delta$ entonces $|g(x)-g(a)|\lt\delta_1$ y por lo tanto $|f(g(x))-f(g(a))|=|f\circ g(x) - f\circ g(a)|\lt\epsilon$ .

Así, para todos los $\epsilon\gt 0$ existe $\delta\gt 0$ de manera que si $|x-a|\lt\delta$ entonces $|f\circ g(x) - f\circ g(a)|\lt\epsilon$ . Por lo tanto, $f\circ g$ es continua en $a$ .

Por lo tanto, tenemos que $\lim\limits_{y\to g(a)} f(y) = f(g(a))$ ya que $f$ es continua en $g(a)$ y $\lim\limits_{x\to a}f\circ g(x) = f\circ g(a) = f(g(a))$ ya que $f\circ g$ es continua en $a$ .

No es necesario $g$ sea continua: si $\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$ y $f$ es continua en $L$ entonces tenemos $$\lim_{x\to a}f\circ g(x) = \lim_{y\to L}f(y) = f(L).$$ Para comprobarlo, dejemos que $\epsilon\gt 0$ . Entonces existe $\delta_1\gt 0$ tal que para todo $x$ , $|y-L|\lt\delta_1$ implica $|f(y)-f(L)|\lt\epsilon$ . Desde $\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$ existe $\delta\gt 0$ de manera que si $0\lt |x-a|\lt \delta$ entonces $|g(x)-L|\lt\delta_1$ . Entonces, supongamos que $0\lt |x-a|\lt\delta$ . Entonces $|g(x)-L|\lt\delta_1$ y por lo tanto $|f(g(x))-f(L)|\lt\epsilon$ . Por lo tanto, para cada $\epsilon\gt 0$ existe $\delta\gt 0$ de manera que si $0\lt |x-a|\lt\delta$ entonces $|f(x)-f(L)|\lt\epsilon$ . Esto demuestra que si $\lim\limits_{x\to a}g(x) = L$ y $f$ es continua en $L$ entonces $$\lim\limits_{x\to a}f\circ g(x) = \lim\limits_{y\to L}f(y) = f(L).$$ En particular, si $g$ es continua en $a$ , entonces sustituimos $L$ con $g(a)$ .

No podemos omitir la continuidad de $f$ en $L$ Sin embargo, toma $g(x) = 0$ para todos $x$ y que $$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 &\text{if }x\neq 0\\ 0 &\text{if }x=0. \end{array}\right.$$ Entonces $\lim\limits_{x\to a}f(g(x)) = 0$ porque $f(g(x))=f(0)=0$ . Pero $$\lim\limits_{y\to 0}f(y) = 1,$$ porque nunca tomamos el valor $y=0$ en la evaluación del límite.

Se puede sustituir la continuidad de $f$ con otras condiciones; por ejemplo, podemos pedir que $g$ tienen un límite $L$ en $a$ y, además, que para cada $\delta\gt0$ existe un $\eta\gt 0$ tal que $g$ toma todos los valores en $(L-\eta,L+\eta)$ , excepto tal vez $L$ mismo, en $(a-\delta,a+\delta)-\{a\}$ .

Añadido. La situación de los límites como $x\to\infty$ es esencialmente la misma si $\lim\limits_{x\to\infty}g(x)$ existe y es real. Es más complicado cuando el límite de $g$ es $\pm\infty$ . Ver esta respuesta para debatir sobre ello.

Answer 3

Aunque esta es una pregunta bastante antigua, me topé con ella y quise dar una visión diferente para el caso en que la continuidad de $f$ no puede ser asumido. Para que las cosas funcionen, entonces, tenemos que reforzar las hipótesis sobre $g$ .

Teorema. Supongamos que $g$ es continua e inyectiva en un intervalo abierto $I$ que contiene $a$ y $f$ es alguna función. Entonces $\displaystyle \lim_{x \to a}{(f \circ g)(x)}$ existe si y sólo si $\displaystyle \lim_{t \to g(a)}{f(t)}$ existe, y son iguales cuando existen.

Prueba. Supongamos que $\displaystyle \lim_{x \to a}{f(g(x))} = L$ . Afirmamos que $\displaystyle \lim_{t \to g(a)}{f(t)} = L$ . A tal efecto, dejemos que $\epsilon>0$ sea arbitraria. Nuestra hipótesis significa que hay una $\delta > 0$ tal que $$0 < |x-a| < \delta \implies |f(g(x)) - L| < \epsilon.$$ Porque $g$ es uno a uno y continuo en un intervalo abierto $I$ , $g^{-1}$ también es uno a uno y continuo en el intervalo abierto $g[I]$ . Por lo tanto, existe un $\gamma>0$ tal que $$|t - g(a)| < \gamma \implies |g^{-1}(t) - a| < \delta.$$ Porque $g^{-1}(t) = a$ sólo se produce cuando $t=g(a)$ tenemos de forma similar $$0 < |t - g(a)| < \gamma \implies 0 < |g^{-1}(t) - a| < \delta.$$ Así, para todos los $t$ , $$0 < |t - g(a)| < \gamma \implies 0 < |g^{-1}(t) - a| < \delta \implies |f(g(g^{-1}(t))) - L| < \epsilon$$ o $$0 < |t - g(a)| < \gamma \implies |f(t) - L| < \epsilon.$$ Desde $\epsilon>0$ era arbitraria, se deduce que $\displaystyle \lim_{t \to g(a)}{f(t)} = L$ .

De la dirección anterior se desprende el sentido contrario: si dejamos que $h = f \circ g$ y $b=g(a)$ entonces $\displaystyle \lim_{t \to g(a)}{f(t)}$ puede escribirse como $\displaystyle \lim_{t \to b}{h(g^{-1}(t))}$ y $\displaystyle \lim_{x \to a}{f(g(x))}$ puede escribirse como $\displaystyle \lim_{x \to g^{-1}(b)}{h(x)}$ . Desde $g^{-1}$ satisface las mismas hipótesis que $g$ y no había requisitos sobre $f$ El argumento anterior es válido para esta nueva disposición. Q.E.D.

Answer 4

Este es mi punto de vista. Dejemos que $f:\text{D}_f\to\mathbb{R}$ y $g:\text{D}_g\to \text{R}_g\subseteq\text{D}_f$ sean funciones de manera que $f\circ g:\text{D}_g\to\mathbb{R}$ está bien definida. Bueno, supongo que usted es consciente del siguiente teorema.

Teorema 1. Si $g$ es continua en $a$ y $f$ es continua en $g(a)$ entonces $f\circ g$ es continua en $a$ . En términos de notación de límites, si $\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$ y $\lim_{x\to g(a)}f(x)=f(g(a))$ entonces tenemos $\lim_{x\to a}(f\circ g)(x)=(f\circ g)(a)$ .

Una ligera generalización de este teorema es la siguiente

Teorema 2. Supongamos que $\lim_{x\to a}g(x)=b$ y $\lim_{x\to b}f(x)=c$ . Además, supongamos que $g$ cumple la siguiente condición $$\exists r>0,\,\,\,0<|x-a|<r\implies 0<|g(x)-b|.$$ Entonces tenemos $\lim_{x\to a}(f\circ g)(x)=c$ .

En su ejemplo, tenemos $f:x\mapsto x^2$ y $g:x\mapsto x+1$ , $a=5$ , $b=6$ . Tenemos claramente $\lim_{x\to5}x+1=6$ y $\lim_{x\to 6}x^2=36$ . Y lo que es más importante, elija $r=1$ así que siempre que $0<|x-5|<1$ tenemos que $|(x+1)-6|>0$ . Estos dos implican que $\lim_{x\to 6}(x+1)^2=36$ . En la práctica, se suele escribir como

$$\lim_{x\to 5}(x+1)^2=\lim_{y\to 6}y^2=36.$$

Lo que ocurre en la mente de los estudiantes de cálculo es que detectan $g:x\mapsto x+1$ al instante, calcular $\lim_{x\to 5}x+1=6$ en su mente (inconsciente) y obtienen la primera igualdad que luego se computa fácilmente para obtener la segunda. Un punto delicado de esto es que al hacer la escritura de izquierda a derecha, se puede pensar que las implicaciones también están en este orden mientras que es exactamente en la dirección contraria, ¡de derecha a izquierda! También, $y$ aquí es sólo una variable ficticia y puede ser sustituida por otras variables como $t$ o el $x$ sí mismo.

También podemos expresar otra variación de Teorema 2 como el siguiente.

Teorema 3. Supongamos que $\lim_{x\to a}g(x)=b$ y $\lim_{x\to b}f(x)=c$ . Además, supongamos que $f$ es continua en $b$ . Entonces tenemos $\lim_{x\to a}(f\circ g)(x)=c$ .

Observación 1. A veces, en lugar de escribir $\lim_{x\to a}(f\circ g)(x)=c$ utilizamos el simbolismo más intuitivo de $\lim_{g(x)\to b}f(g(x))=c$ .

Observación 2. Estos teoremas se pueden generalizar naturalmente para los espacios métricos.

Answer 5

Dejemos que $L_1 = \lim\limits_{x \to g(a)} f(x)$ y $L_2 = \lim\limits_{x \to a} f(g(x))$ . $L_1$ es único en $\mathbb{R}$ de modo que para todos $\varepsilon > 0$ existe $\delta_1(\varepsilon) > 0$ de manera que si $|x-g(a)| < \delta_1(\varepsilon)$ entonces $|f(x) - L_1| < \varepsilon$ . Del mismo modo, $L_2$ es única por lo que existe $\delta_2(\varepsilon) > 0$ de manera que si $|x-a| < \delta_2(\varepsilon)$ entonces $|f(g(x)) - L_2| < \varepsilon$ .

Ahora demostraremos que $L_1$ también satisface la propiedad de que $L_2$ satisface de forma única. Tomemos $\varepsilon > 0$ . Cuando $|x-g(a)| < \delta_1(\varepsilon/2)$ ,

\begin{align*} |f(g(x)) - L_1| &= |f(g(x)) + f(x) - f(x) - L_1| \\ &\le |f(g(x)) - f(x)| + |f(x) - L_1| \\ &< \varepsilon/2 + |f(g(x) - f(x)|. \end{align*}

Desde $f$ es continua, existe $\delta(\varepsilon/2) > 0$ de manera que cuando $|x-g(a)| < \delta(\varepsilon/2)$ , $|f(g(x)) - f(x)| < \varepsilon / 2$ . Por lo tanto, si $|x - g(a)| < \min\{\delta_1(\varepsilon/2), \delta(\varepsilon/2)\}$ , entonces obtenemos \begin{align*} |f(g(x)) - L_1| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon. \end{align*} Así, $L_1$ es también el límite $\lim\limits_{x\to a} f(g(x))$ y por singularidad concluimos $L_1 = L_2$ es decir $\lim\limits_{x\to a} f(g(x)) = \lim\limits_{x\to g(a)} f(x)$ .