Una familia especial cofinal en $(\omega^\omega,\le)$

Question

Permítanme comenzar publicando una pregunta, que es esencialmente una pregunta combinatoria. A continuación publicaré al menos una breve explicación de lo que me llevó a hacer esta pregunta.

Trabajemos con el conjunto $\omega^\omega$ (es decir, todas las secuencias de enteros positivos) con una ordenación puntual $$x\le y \Leftrightarrow (\forall n\in \omega) x_n\le y_n$$

¿Existe un sistema $\mathcal B\subseteq\omega^\omega$ tal que

• $(\forall x\in\omega^\omega)(\exists y\in\mathcal B) x\le y$ (es decir, $\mathcal B$ es cofinal en $\omega^\omega$ )
• Para cualquier $x\in\omega^\omega$ el conjunto $\{z\in\mathcal B; z\le x\}$ es finito.

---

Mi motivación fue que estaba pensando en un problema publicado por Michael Greinecker en esta pregunta . Allí pregunta si podemos tener una base local en $x$ tal que ninguna intersección de un subsistema contable de esta base es una vecindad de $x$ bajo algunas condiciones en el punto $x$ y el espacio $X$ .

Quería empezar con algunos ejemplos sencillos para entender mejor el problema. Estaba pensando en el $X$ que se obtiene de la suma topológica de un número contable de copias de la compactificación de Alexandroff de un espacio discreto contable, si pegamos el punto no aislado de cada copia en un punto.

La compactación de Alexandroff de un espacio discreto es simplemente una secuencia convergente (es homeomorfa a $\{0\}\cup\{1/n; n=1,2,\dots\}$ con la topología heredada de la línea real). Así que este espacio se puede visualizar como en la siguiente imagen. (Cada rayo en esta imagen representa una secuencia convergente y un conjunto básico típico está marcado allí. No haga caso de las etiquetas que se dan allí - simplemente he utilizado una imagen que había preparado antes para diferentes propósitos; la notación en esa situación era completamente diferente).

O, si prefiere otra representación de este espacio, puede tomar $Y=\{n+1/k; n,k\in\mathbb N\}$ y luego $X\cong Y/\mathbb N$ .

Este espacio es contablemente ajustado ya que la clase de espacios contablemente estrechos es cerrada bajo sumas topológicas y mapas cotizantes. EDIT: Alex Ravsky señaló en un comentario (ahora borrado), que esto es innecesariamente complicado - este espacio es contablemente apretado simplemente porque es contable. De todos modos, el argumento que di funcionaría también para un número arbitrario de copias. (O si utilizamos un espacio contablemente apretado diferente en lugar de la secuencia convergente). Así que todavía podría ser interesante para otros espacios de tipo similar.

Este espacio sólo tiene un punto no aislado y no es contable en primer lugar. Por tanto, este espacio cumple los supuestos de la otra pregunta. (Por lo tanto, si no existe ninguna familia con las propiedades anteriores, esto daría un contraejemplo).

Denotemos el punto no aislado de $X$ por $\infty$ . Para cada secuencia $x\in\omega^\omega$ obtenemos una vecindad de $\infty$ simplemente tomando todos los números mayores o iguales a $x_n$ en el $n$ -ésima copia de la secuencia convergente. Estos vecindarios comprenden una base local en $\infty$ .

Así que la condición de cofinalidad para el sistema $\mathcal B$ significa que si tomamos los vecindarios correspondientes a las secuencias de $\mathcal B$ forman una base local.

La segunda condición corresponde a la suposición de que ninguna intersección infinita contable de conjuntos (distintos) de esta base local será de nuevo un conjunto abierto.

Answer 1

Si parece que no existe ninguna familia $\cal B$ con las propiedades anteriores. Supongamos lo contrario. Dado que la familia $\cal B$ es cofinal en $\omega^\omega$ el procedimiento de la diagonal muestra que $\cal B$ es incontable (además, quizá la cardinalidad mínima de $\cal B$ está relacionado con los llamados cardenales pequeños, como $\operatorname{cof}(\omega^\omega)$ ).

Ahora por inducción podemos construir una secuencia no creciente $\{\cal B_n:n\in \omega\}$ de subfamilias incontables de $\cal B$ tal que para cada $n$ Cada uno de ellos $x,y\in\cal B_n$ y cada $i\le n$ tiene $x(i)=y(i)$ . De nuevo por inducción elegimos una secuencia $\{x_n\}$ de funciones distintas tales que $x_n\in\cal B_n$ para cada $n$ . Esta condición implica que para cada $m$ el conjunto $\{x_n(m):n\in\omega\}$ tiene un sumo finito $x(m)$ . Desde $\cal B$ es cofinal, existe una secuencia $y\in\cal B$ tal que $y\ge x$ . Entonces $y\ge x_n$ para cada $n$ lo que contradice la segunda propiedad de $\cal B$ .