Interpretación física y geométrica de las formas diferenciales

Question

Tengo una duda sobre la interpretación física y geométrica de las formas diferenciales. He estado estudiando las formas diferenciales en el Cálculo sobre Múltiples de Spivak, pero mi verdadera intención es utilizar esos conceptos en la física.

Me quedé muy sorprendido cuando descubrí que una fuerza puede ser descrita como un $1$ -forma que dado un vector me da el trabajo para mover una partícula a lo largo del vector, cf. este Puesto de Phys.SE. Realmente creo que hay mucho más uso para esos conceptos en la Física. Por ejemplo, escribir las ecuaciones de Maxwell en una forma más general.

El problema con esos libros como Calculus on Manifolds es que todos los que he encontrado no se preocupan demasiado por la interpretación física y geométrica de esos conceptos. Por ejemplo, aunque comentan cómo encaja esto y la geometría y demás, no se centran en justificar por qué las formas se relacionan con la densidad y cómo se puede usar esto para modelar cosas en la física.

Lo que quiero entonces es preguntar si alguno de ustedes puede recomendar algún libro que explique cómo encajan esos conceptos en la física, cómo se pueden utilizar para dar descripciones precisas de los fenómenos físicos.

Answer 1

Tal y como están las cosas, las formas diferenciales no te cuentan toda la historia--estrictamente hablando, las formas diferenciales sólo tratan con covectores y productos cuña de covectores y luego usan el martillo de la estrella de Hodge para poder hacer torpemente productos internos. Para mí, está demasiado alejado del cálculo vectorial que quizá ya conozcas.

En su lugar, le recomiendo encarecidamente que estudie el álgebra geométrica. Todos los resultados de las formas diferenciales se aplican también al álgebra geométrica -la primera está estrictamente contenida en la segunda-, pero la notación es mucho más familiar y el énfasis está en la interpretación geométrica en lugar de en el empuje de símbolos abstractos. David Hestenes tiene varios libros sobre el tema. Probablemente la obra más autorizada en cuanto al uso del álgebra geométrica para resolver problemas físicos es Álgebra geométrica para físicos por Doran y Lasenby. También puede leer algunas cosas rápidamente en este sitio web , escrito por Gull, Doran y Lasenby.

Voy a hacer un resumen rápido. El álgebra geométrica tiene un producto cuña como las formas diferenciales, pero también permite utilizar directamente un producto punto. De hecho, combina los dos en una operación útil llamada producto geométrico , definida de la siguiente manera. Para dos vectores $a, b$ el producto geométrico $ab$ es

$$ab = a \cdot b + a \wedge b$$

El producto geométrico es asociativo (¡aunque el producto punto no lo sea!). Esto lo hace muy útil. También es invertible en el espacio euclidiano, como consecuencia de esa asociatividad. Esto hace posible la fórmula

$$a = abb^{-1} = (a \cdot b) b^{-1} + (a \wedge b) \cdot b^{-1}$$

Geométricamente, esto descompone $a$ en $a_{\parallel, b}$ y $a_{\perp, b}$ . Destacamos que $a \wedge b$ denota una plano orientado y los productos en cuña rinden volúmenes orientados y más.

Algunas aplicaciones inmediatas a la física son las siguientes:

1. El momento angular como bivector. Esta es una de las primeras veces que se "necesita" un producto cruzado, y al utilizar el producto cuña en su lugar se obtiene una interpretación más limpia. El bivector del momento angular es exactamente el plano en el que se mueven dos objetos en relación con el otro. Esto también se generaliza más allá de la 3ª dimensión, por lo que tiene sentido hablar de bivectores de momento angular también en la relatividad.
2. Unificación de los teoremas integrales (el teorema fundamental del cálculo). El cálculo geométrico (al igual que las formas diferenciales) hace posible la unificación del teorema de la divergencia, el teorema de Stokes, etc. como un solo concepto básico: que la integral de una función sobre una frontera es igual a la integral de la derivada sobre la región delimitada por esa frontera. Creo que esto es una cuestión de calidad de vida importante; tener que recordar un solo concepto es mucho más fácil, en mi opinión, que recordar muchos teoremas integrales por separado.
3. Relatividad sin índices ni cálculo tensorial clásico. La combinación del álgebra geométrica de los productos punto y cuña hace posible todas las operaciones habituales para las que se necesita el cálculo tensorial y la notación de índices. La relatividad puede presentarse utilizando una modesta extensión de los métodos utilizados en el electromagnetismo en 3 dimensiones. El producto geométrico permite reducir la ecuación de Maxwell en el vacío a un ecuación (en lugar de dos para las formas diferenciales): $\nabla F = J$ . Esto enfatiza la interpretación del campo EM $F$ como un campo bivectorial, un campo de planos orientados en todo el espaciotiempo.
4. Interpretación geométrica de la mecánica cuántica. Muchas de las matemáticas de la cuántica se presentan como místicas o especiales para la MQ, pero la mayoría de ellas son en realidad inherentes a la estructura geométrica del espacio y el tiempo. El álgebra geométrica permite tratar las álgebras de Pauli y Dirac como álgebras de vectores base en el espacio 3d y 3+1d. Esto hace que la interpretación del espín y de los operadores de espín sea inherentemente geométrica.
5. Construcción de espinores. Los espinores son cosas con las que a menudo tratamos en la cuántica, tal vez sólo con la comprensión de que deben girar a través de $4\pi$ en lugar de $2\pi$ para volver a su forma original. El álgebra geométrica muestra que los espinores subyacen a todas las rotaciones, incluso a las del espacio 3d. De hecho, los espinores del espacio 3d son cuaterniones, y los espinores del espacio 2d son números complejos. El AG ofrece un marco para construir espinores y manipularlos como otros objetos.

Las formas diferenciales también pueden hacer algunas de estas cosas, otras no (no puede en absoluto reducir las ecuaciones de Maxwell a una expresión). Sin embargo, cualquiera de los dos formalismos supone una gran mejora con respecto a los métodos tradicionales.

Answer 2

Recomiendo el libro de Frankel La geometría de la física. Trata todos los conceptos fundamentales de la topología y la geometría diferencial, pero da aplicaciones claras y detalladas a la mecánica clásica, el electromagnetismo, la RG y la MC. No es demasiado formal, pero desarrolla realmente muchas herramientas útiles utilizando formas diferenciales.

Otro libro, que es un poco más básico y es, por así decirlo, una versión ligera del clásico libro de texto de Mecánica de Arnold es Mecánica Geométrica, de Richard Talman . Se puede desarrollar una intuición geométrica y física de las formas diferenciales. Aquí las aplicaciones se reducen principalmente a la mecánica clásica.

Por supuesto, hay otros buenos textos, pero estos son un buen punto de partida.

También estoy de acuerdo con @Muphrid, que el Álgebra Geométrica debería ser realmente preferida como lenguaje para la física moderna, en lugar de las formas diferenciales. Es mucho más claro y familiar. Revisa el libro de Lasenby y Doran y también la disertación de Anthony Lewis en cosmologist.info, que tiene un capítulo que trata sólo de la traducción entre formas diferenciales y álgebra geométrica.

Answer 3

Puede que no sea exactamente lo que busca, pero le voy a recomendar dos textos concretos.

Misner, Thorne y Wheeler, Gravitación , capítulos 4, 9 y final del 14

Se encuentra en el ámbito de la física, pero tiene un montón de detalles de interpretación.

Choquet-Bruhat y DeWitt-Morette, Análisis, Múltiples y Física Capítulo IV.C

Este texto es increíble. Deberíamos leerlo todo, todo el tiempo. Más matemático, pero eso es mejor en este caso. También más aplicable entonces sólo E/M + Gravedad como MTW. Un poco viejo, pero es una buena notación para introducirse.

Answer 4

Como sugerencia de libro quizás más "suave", estoy encontrando "El camino a la realidad" de Penrose que es bastante agradable para obtener una visión general de muchas interpretaciones matemáticas de la física. Además, hay ejercicios en este libro, por lo que, aunque parezca que estás comprando una especie de libro de mesa de café, hay mucho que trabajar si estás dispuesto.