Hay una plaza de $Q$ consta de $(0,0), (2,0), (0,2), (2,2)$

Question

Hay una plaza de $Q$ consta de $(0,0), (2,0), (0,2), (2,2)$.

Un punto de $P$ satisface la siguiente condición:

La línea recta que pasa a través de $P$ y la división de la zona de la plaza de $Q$ en la proporción de $1:3$ no existe.

Podemos saber el locus de $P$ y el área de la legitimación?

Answer 1

Está delimitada por líneas que dividen la plaza de exactamente 1:3.
Estas son dos formas:

• a través de $(0,a),(1,1/2),(2,1-a)$ o similar;
• a través de $(0,a),(2/a,0)$ o similar.

Necesitamos la envolvente de las líneas de $(0,a),(2/a,0)$. Encontrar la intersección de la línea a través de$(0,a),(2/a,0)$$(0,b),(2/b,0)$, luego deje $b\to a$. (De la misma manera, usted puede encontrar la tangente de una curva tomando acordes de $a$$b$, y, a continuación, deje $b\to a$.)

Una vez que se tiene la ecuación de la envolvente, hallar el área del triángulo redondeado cubre $(1,1/2)$$(1/2,1)$%#%.

Answer 2

Nos encontramos con la parte en el cuadrante inferior izquierdo de la plaza. El límite será líneas que cortar un triángulo de área $1$, como se muestra en la siguiente figura. Tienen pendiente $m$$-2$$-1/2$, de $(0,\sqrt {-2m})$$(\sqrt{-\frac2m},0)$, por lo que han ecuación de $y=\sqrt {-2m}+mx$. Para un determinado $x$ en el rango $[\frac 12, 1]$queremos encontrar el $m$ que maximiza $y$. Tomando la derivada y ajuste a cero da $0=-\frac 12\sqrt{-\frac 2{m}}+x$ o $m=-\frac 1{2x^2}$ conectando en que da la envolvente $y=\frac 1{2x}$. Para obtener el área, es $4\int_{1/2}^1(1-\frac 1{2x})dx=2(1-\log (2)) \approx 0.613$

Answer 3

Aquí está una Geogebra aproximación de la región en cuestión (la luz de color de la región en el centro):