¿Desea $ \lim \frac {xy}{x+y}$ existen en (0,0)?

Question

Dada la función $f(x,y) = \frac {xy}{x+y}$ después de mi análisis concluí que el límite en $(0,0)$ no existe.

En resumen, si nos acercamos a $(0,0)$ a través de la parábola $y = -x^2 -x$ y $y = x^2 - x$ encontramos que $f(x,y)$ enfoques de $1$ y $-1$ respectivamente. Por lo tanto, el límite no existe.

Creo que mi razonamiento es correcto. ¿Qué opina usted?

Alternativamente, ¿hay otro enfoque para este problema?

Answer 1

Voy a explicar aquí cómo enfocar los límites de las funciones en dos variables, teniendo en cuenta el ejemplo que propuso el OP. Si el límite $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy}{x+y}$$ existe y es igual a $L$ entonces también se deduce que si $\{(x_n,y_n)\}$ es una secuencia de puntos con límite $(0,0)$ entonces $$\lim_{n\to\infty} \frac{x_ny_n}{x_n+y_n}=L.$$ Ahora podemos elegir una serie de secuencias fáciles $\{(x_n,y_n)\}$ con límite $(0,0)$ y calcular el límite. Por ejemplo, podemos elegir puntos de una recta $y=\lambda x$ , con pendiente $\lambda$ es decir, $(x_n,y_n) = (\frac{1}{n}, \frac{\lambda}{n})$ . En este caso: $$\lim_{n\to\infty} \frac{x_ny_n}{x_n+y_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\lambda}{n^2}}{\frac{1}{n}+\frac{\lambda}{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{\lambda}{(1+\lambda)n}$$ y el límite es $0$ siempre y cuando $\lambda\neq -1$ . Por lo tanto, si el límite existe, debe ser $0$ . Pero el problema con $\lambda=-1$ nos dice que puede haber un problema si nos acercamos $(0,0)$ con una trayectoria que termina tangente a $y=-x$ (nótese que la función no está definida en los puntos con $y=-x$ ).

Así pues, a continuación se observa una secuencia que sigue una trayectoria en una curva con línea tangente $y=-x$ en $(0,0)$ . Algunos ejemplos de estas curvas son $y=x^2-x$ , $y=-x^2-x$ o $y=e^{-x}-1$ . Así, podemos considerar las secuencias $(x_n,y_n)$ dado por: $$\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\right),\quad \text{or} \quad \left(\frac{1}{n},-\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\right), \quad \text{or} \quad \left(\frac{1}{n},e^{-1/n}-1\right).$$ Para la primera secuencia obtenemos: $$\lim_{n\to\infty} \frac{x_ny_n}{x_n+y_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{1-n}{n}= -1.$$ Pero el límite debía ser $L=0$ . Por lo tanto, el límite no puede existir. Del mismo modo, si probamos las otras dos secuencias enumeradas anteriormente: $$\lim_{n\to\infty} \frac{x_ny_n}{x_n+y_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{-\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{-\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n^2}}{-\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{1+n}{n}= 1,$$ y $$\lim_{n\to\infty} \frac{x_ny_n}{x_n+y_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n}(e^{-1/n}-1)}{\frac{1}{n}+e^{-1/n}-1}=\lim_{n\to\infty} \frac{e^{-1/n}-1}{1+ne^{-1/n}-n}=0.$$ Estos resultados son inconsistentes, y por lo tanto el límite no puede existir. Más dramático aún: dejemos que $\{x_n,y_n\}$ sea una secuencia que sigue la curva $y=x^3-x$ hacia el origen, por ejemplo poner $(x_n,y_n)=(\frac{1}{n},\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n})$ . Entonces: $$\lim_{n\to\infty} \frac{x_ny_n}{x_n+y_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^3}}=\lim_{n\to\infty} \frac{1-n^2}{n}= -\infty.$$

Answer 2

El punto clave es considerar la aproximación al origen cerca de la línea $y = -x$ . No importa lo pequeño que sea el barrio del origen que consideres, en ese barrio $xy/(x+y)$ toma todos los valores. Ver el parcela de $xy/(x+y)$ .

También podrías suponer que el límite existe y, utilizando la definición de límite de una función multivariable (con épsilon y deltas), llegar a una contradicción.

Answer 3

Es un buen enfoque.

Generalizando un poco, si $g(x)$ es una función definida en una vecindad puntuada de $0$ tal que $\lim\limits_{x\to 0} g(x) = 0$ et $g(x)\neq 0$ para todos $x$ Entonces, si el límite en cuestión existe, debería tener $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=\lim\limits_{x\to 0}f(x,g(x)-x)=\lim\limits_{x\to 0}x -\frac{x^2}{g(x)}$ . Tal $g$ se puede elegir para que este límite sea cualquier número real, $\infty$ o $-\infty$ o no existe en ningún sentido. Otro camino especial particularmente fácil es considerar $\lim\limits_{x\to 0}f(x,0)=0$ .

Answer 4

Tal vez me pierda algo pero no es así:

para $x=x,y=\dfrac{-x}{x+1}$

$\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{\dfrac{-x^2}{1+x}}{x-\dfrac{x}{1+x}}=\dfrac{\dfrac{-x^2}{x+1}}{\dfrac{x^2}{x+1}}=-1\to0$ cuando $(x,y)\to(0,0)$

y para $x\not=0,y=0$

$\dfrac{xy}{x+y}=0\to0$