Encontrar todos los continuo de las funciones reales tales que a $f(x)+f(y) = f(x+y)-xy-1$ todos los $x,y \in \mathbb{R}$

Question

Encontrar todos los continuo de las funciones reales tales que a $f(x)+f(y) = f(x+y)-xy-1$ todos los $x,y \in \mathbb{R}$.

Vi de primera que $f(0) = -1$ pero entonces estoy luchando para ver cómo obtener una fórmula para $f(x)$. Si me do $x = 0$ obtenemos $f(0) + f(x) = f(x)-1$ que realmente no ayuda. Hay una forma mejor de obtener una fórmula para $f(x)$ aquí?

Answer 1

Deje $g(x) = f(x) + 1-x^2/2$. A continuación, $g$ es continua y

$$g(x+y) = g(x) + g(y)$$

El sólo funciona con esas propiedades (continua y aditivos) son aquellos de la forma$g(x) = ax$$a \in \mathbb{R}$. (Véase Continua y aditivos implica lineal )

Por lo tanto $f(x) = -1+ax + \frac{x^2}{2}$ para algunas constantes $a$.

EDIT: ¿por Qué ese $g$? En primer lugar, $xy = \frac{1}{2} (x+y)^2 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} y^2$, por lo que la relación puede ser escrita como

$$f(x) - \frac{1}{2}x^2 + f(y) - \frac{1}{2} y^2 = f(x+y) - \frac{1}{2}(x+y)^2 -1. $$

Si $h(x) = f(x) -\frac{1}{2} x^2$, luego

$$h(x)+h(y) = h(x+y) -1.$$

Hay dos $h$ a la izquierda y sólo uno a la derecha, y el equilibrio es $-1$. Así que si definimos $g(x) = h(x) +1$, luego

$$g(x)-1 + g(y) -1 = g(x+y)-1 -1.$$

Answer 2

Desde que te encontré $f(0)+f(0)=f(0)-0-1$, de modo que $f(0)=-1$, si se mantiene el $y$ constante y tomar la derivada con respecto al $x$, se obtiene $$f^{\prime}(x)=f^{\prime}(x+y)-y$$ Luego trasladan a $$f^{\prime\prime}(x)=\lim_{y\rightarrow0}\frac{f^{\prime}(x+y)-f^{\prime}(x)}{y}=\lim_{y\rightarrow0}1=1$$ Por lo $f(x)=\frac12x^2+C_1x+C_2$. Desde $f(0)=C_2=-1$, estamos en la $f(x)=\frac12x^2+C_1x-1$, y desde que esto funciona en la ecuación original, hemos terminado.

EDIT: OK, así que aquí es una solución que no requieren el doble de funciones diferenciables. La reescritura de la recurrencia de la relación como $$\frac{f(x+y)-f(x)}y=\frac{f(y)-f(0)}y+x$$ Dado que conocemos $f(0)=-1$. Entonces $$\begin{align}\lim_{y\rightarrow0}\frac{f(x+y)-f(x)}y&=\lim_{y\rightarrow0}\frac{f(y)-f(0)}y+\lim_{y\rightarrow0}x\\ &=f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)+x\end{align}$$ En la integración obtenemos $$f(x)=\frac12x^2+f^{\prime}(0)x+C_3$$ Y recordar que sabíamos $$-1=f(0)=C_3$$ Así que estamos de vuelta para verificar que $$f(x)=\frac12x^2+f^{\prime}(0)x-1$$ funciona para todos los valores de $f^{\prime}(0)$.