No porque eso implicaría una secuencia infinita de triángulos cada vez más pequeños con la misma propiedad:
$\hspace{90pt}$![triangles]()
La clave de la prueba que sigue es esta propiedad:
Para cualquier punto $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ tenemos que $(-y,x)$ y $(y,-x)$ son sus rotaciones ccw y cw alrededor de $(0,0)$ por $\frac{\pi}{2}$ .
Esto implica que podemos girar puntos de $\mathbb{Z}^2$ alrededor de otros puntos de $\mathbb{Z}^2$ por $\frac{\pi}{2}$ y aún así terminaremos en $\mathbb{Z}^2$ .
La prueba:
Consideremos un triángulo equilátero $\triangle ABC$ con vértices en $\mathbb{Z}^2$ y realizar una rotación de $A$ alrededor de $C$ para conseguir $A''$ que también tiene coordenadas enteras:
$\hspace{70pt}$![first]()
Entonces traduce $B$ a lo largo de $\vec{A''C}$ para conseguir $B'$ , de nuevo con coordenadas enteras:
$\hspace{70pt}$![second]()
Haga esto dos veces más para obtener también $A'$ y $C'$ , todos con coordenadas enteras:
$\hspace{80pt}$![thrid]()
Sin embargo, observe que $\triangle A'B'C'$ también es un triángulo equilátero con vértices en $\mathbb{Z}^2$ pero es estrictamente menor que $\triangle ABC$ (por comodidad marcada con la zona sombreada en gris). Esto implica una cadena descendente infinita de triángulos equiláteros con coordenadas en $\mathbb{Z}^2$ lo cual es claramente imposible.
Editar:
Para aquellos que quieran una construcción en la que los tamaños relativos sean más evidentes, observen que la existencia de un triángulo equilátero con vértices en $\mathbb{Z}^2$ implica la existencia de un hexágono regular con la misma propiedad, y eso a su vez implica una secuencia infinita de hexágonos regulares cada vez más pequeños:
$\hspace{30pt}$![hexagons]()
Una vez vi este método aplicado sólo para hexágonos, pero no pude encontrar la fuente (si alguien la conoce, le agradecería la referencia).
Espero que esto ayude $\ddot\smile$
