Cuando p grupos cíclicos?

Question

Deje $|G|=p^n$ y sólo tiene un subgrupo de orden $p^{(n-1)}$.Entonces G es cíclico.Estoy intentando de muchas maneras bt no consigue nada. Lo que me pasa :El único subgrupo es normal en $G$, Centro cumple con el subgrupo no trivial, Ningún elemento fuera de la sub grupo tiene orden de $p^{(n-1)}$.Que me ayude Plz

Answer 1

Al parecer esto viene a mostrar que cada subgrupo maximal de un número finito de $p$-grupo índice $p$. Hacemos esto de forma inductiva. Tome $M\leq G$ máximo. Entonces hay dos casos:

Si $Z(G)\cap M = 1$, $M$ $Z(G)$ generar $G$ desde $Z(G)\neq 1$. Pero $Z(G), M \leq N(M)$, lo $G=N(M)$, es decir, $M$ es normal.

Si $x\in Z(G)\cap M$, $x\neq 1$, a continuación, $M/(x) \leq G/(x)$ es un subgrupo maximal. Por inducción, es normal, por lo $M$ es normal.