Vamos a $R$ ser el anillo $$R = \prod_{p\ \text{prime}} \mathbb{F}_p$$ donde $\mathbb{F}_p$ es el campo en el haber de $p$ elementos.
Es cierto que $R$ tiene un cociente por un ideal maximal que es un campo de característica cero y contiene $\overline{\mathbb{Q}}$?
Motivación: me gusta el problema y no puedo resolverlo...
Debe tener algo que ver con el Chebotarev densidad teorema.
La respuesta es Sí, y este es el ultraproduct de la construcción. Sea U ser cualquier nonprincipal ultrafilter en el conjunto de los números primos. Esto es simplemente el doble filtro a un ideal maximal en el conjunto de los números primos, que contiene todos los conjuntos finitos de números primos. (En otras palabras, U contiene el Frechet filtro.)
El cociente R/U es un campo de característica 0.
El ultraproduct construcción es completamente general, y no tiene nada que ver con los anillos o los campos. Si Mi for i in I es cualquier colección de estructuras de orden, y U es un ultrafilter en los subconjuntos de I, entonces podemos formar el ultraproduct Π Mi/U, que es el conjunto de clases de equivalencia por la relación f equiv g ffi { i in I | f(i) = g(i) } en la U. del mismo modo, la estructura se impone en el ultraproduct coordinar sabio, y esto es bien definido. El más importante es el teorema de Los del teorema que dice que Π Mi/U satisface una de primer orden de la declaración de phi([f]) si y sólo si { i en I | Mi satisface phi(f(i)) } en la U.
En tu caso, ya que cada Fp es un campo, el ultraproduct es también un campo. Y puesto que el conjunto de p más grande que cualquier fijo n es en U, entonces el ultraproduct tendrá 1+...+1 (n veces) no es igual a 0, para cualquier fijo n > 0. Es decir, la ultraproduct tendrá carácter 0.
Edit: he de confesar que me perdí la parte inicialmente sobre que contiene los números algebraicos, y por lo tanto hay más por hacer, como Kevin puntos. Lo que Los del teorema da es que algo sea cierto en R/U en caso de que el conjunto de p para el cual F_p tiene la propiedad está en el ultrafilter U.
Lo que usted necesita saber es que para cualquier finito lista de ecuaciones, que existe un conjunto infinito de números primos p para los cuales la ecuación tiene una solución en Fp. Esta propiedad es equivalente a preguntar si cada finito lista de ecuaciones sobre Z es verdadera en al menos un Fp, ya que uno siempre puede agregar una ecuación así como para excluir cualquier particular Fp. ¿Es esto cierto? (Yo no estaba seguro.)
Pero de acuerdo a lo que Kevin dice en los comentarios de abajo, es cierto, y esto es precisamente lo que usted necesita para la construcción de ir a través de. Usted puede crear un filtro que contiene los conjuntos, los cuales forman una secuencia descendente de los subconjuntos de los números primos, y luego extender esto a un ultrafilter. En este caso, cualquier particular de la ecuación tendría una solución en Fp para un conjunto de p en U, y así la ultrapower R/U tendría una solución. En este caso, el ultrapower contendrá los números algebraicos.
¿Hasta qué punto la lógica de la ruta conseguir? He aquí un plan de ataque. Dicen que tenemos un ideal max $m$.
1) Si $S$ es un subconjunto de los números primos, a continuación, hay un idempotente $e_S$ en $R$, que es de 1 $p$ si $p\in S$ y $0$ a $p$ de otra manera. Ahora $e_S$ es un idempotente así que o $e_S\en m$ o $e_S-1\en m$. Decir $S$ es "grande" si $e_S-1\en m$ y "pequeño" si $e_S\en m$. Sospecho que
(@) un conjunto es grande si su complemento es pequeño (fácil).
(a) $m$ es determinado por el cobro de $S$ que $S$ es grande
(b) la grande $S$ form un ultrafilter
(c) Esto le da un bijection entre ultrafilters en el conjunto de los números primos y la máxima ideales.
El director ultrafilters son los correspondientes a la obvia cocientes $R\a\mathbf{F}_p$. Cualquier no-director de ultrafilter dará un cociente de $R$ de característica cero.
No sé si (1) es correcta, pero siempre he sospechado que es. Si es cierto que la prueba será sencillo álgebra.
2) Ahora uso los lógicos punto de vista. 1 ° de orden de la declaración de campo de la teoría es verdadera en $R/m$ iff el conjunto de los números primos para lo cual es cierto en $\mathbf{F}_p$ es grande. Por ejemplo, el enunciado "yo soy un campo con una raíz cuadrada de 2" es verdadera para un conjunto de números primos de la densidad de 1/2 (aquellos que son 1 o 7 mod 8), por lo que este conjunto había mejor ser grande si usted desea que el cociente de tener una raíz cuadrada de 2.
3) Ahora enumerar todos los polinomios con coeficientes enteros y diga: "tengo todos mis raíces en $R/m$". Todos estos conjuntos mejor que ser grande. Así que ahora tenemos una especie de combinatoria pregunta, que creo que es el siguiente. Deje que $K$ ejecutar a través de todos los campos de número, Galois más de $\mathbf{P}$ para la simplicidad, y para cada uno deje $S(K)$ denota el conjunto de números primos que dividen completamente en $K$. Hay un ultrafilter que contiene todos estos $S(K)$?
4) Ahora un montón de conjuntos está contenida en una ultrafilter iff genera un filtro que no es todo el conjunto de los números primos. Pero ahora esto es la combinatoria declaración acerca de los números primos dividir completamente en número de campos. Por ejemplo, las declaraciones de la forma "si $S$ es el de los números primos que dividen completamente en $K$ y $T$ es el conjunto de números primos que dividen completamente en $L$, entonces $S\cap T$ es el conjunto de números primos que dividen completamente en $KL$" será de utilidad para usted aquí. De hecho, es que todo lo que usted necesita?? Esta cifra fuera y en casa.
Es hora de irse a dormir aquí en el reino unido (bueno, al menos si tiene 3 hijos, lo es) pero me interesaría saber ¿qué pasa si tratas de empujar a través de esto.
La combinación de las respuestas de Joel y Kevin no funciona.
Escribe $\overline{\mathbb{Q}} = \bigcup_{n=0}^\infty K_n$ donde $K_n$ son un aumento de la secuencia finita de Galois de la extensión de $\mathbb{Q}$. Deje de $S_n$ ser los primos que dividen completamente en $K_n$. Por Chebotarev del Teorema, esto es un descendiente de la secuencia de conjuntos infinitos de números primos. Por lo tanto, no es un nonprincipal ultrafilter de $\mathcal{U}$ en el conjunto de los números primos que contiene la totalidad de los $S_n$. Si $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ tiene una raíz en $K_n$, entonces $f(x)$ tiene sus raíces en $\mathbb{F}_p$ para todo $p \in S_n$ y por tanto $f(x)$ tiene una raíz en el ultraproduct $\prod_p \mathbb{F}_p/\mathcal{U}$.
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